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2008年威海市高考模拟考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共7页．考试时间120分钟．满分150分．
答题前，考生务必用
答题可能用到的参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P (A + B ) = P (A ) + P (B )
如果事件A，B互相独立，那么
P (A?B ) = P (A )?P (B )
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
C
球的表面积和体积公式
其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）与命题“若
，则
”等价的命题是
（A）若
，则 （B）若，则
（C）若，则
（D）若，则
（2）已知三角形的边长分别为
、
、
，则它的最大内角的度数是
（A）90° （B）120° （C）135° （D）150°
（3）已知 
，且 
，则 
的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设
、
都是正数，则
的最小值是
（A）6 （B）16 （C）26 （D）36
（5）已知函数 
，则 
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知有
、
为两条不同的直线，
、
为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是
（A）若 
，
，∥，∥，则 ∥
（B）若 ，
，∥，则 ∥
（C）若 
，
，则 ∥
（D）若 ∥，
，则
（7）已知 ， 满足约束条件 
则 
的最大值是
（A）12 （B）15 （C）17 （D）20
（8）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为
，且
，
，则此等比数列的公比等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上，一条渐近线的方程为 
，则它的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
 |
（10）右图是计算 
的
值的算法框图，其中在判断框中应填入的
条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）一个袋子里装有编号为1，2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）定义域为
的函数 
不恒为零，且对于定义域内的任意实
数 、 都有 
成立，则
（A）是奇函数，但不是偶函数 （B）是偶函数，但不是奇函数
（C）既是奇函数，又是偶函数 （D）既不是奇函数，又不是偶函数
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1． 请用
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．
3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（13）某地球仪上北纬30°纬线的长度为
cm，则该地球仪的表面积是 cm2 ．
（14）已知复数 
（ 
为实数，
为虚数单位），
，且 
为纯虚数，
则实数 的值是
．
（15）过点（0，―1）的直线与抛物线 
相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则
．
（16）已知在
的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则
的展开式中，
项的系数是 ．
（17）（本小题满分12分）
三．解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
向量m 
（
），n 
，函数
m
n
，若图象上相邻两个对称轴间的距离为
且当
时，函数的最小值为0.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）在△
中, 若
，且 
，求 
的值.
（18）（本小题满分12分）
如图所示，已知四棱锥 S―ABCD
的底面 ABCD 是矩形，M、N 分别是 CD、SC 的中点，SA ⊥底面ABCD，SA = AD = 1，AB = 
．
（Ⅰ）求证：MN ⊥平面ABN；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
某企业准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产
（
）万件的该种
产品所需要的总成本为 
（）万元，市场销售情况
可能出现好、中、差三种情况，各种情况发生的概率和相应的价格 
（元）与年产量 之间的函数关系如下表所示．
市场情况
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.3
中
0.5
差
0.2
设 
、
、
分别表示市场情况好、中、差时的利润，随机变量
表示当年产量为 而市场情况不确定时的利润．
（Ⅰ）分别求利润 、、 与年产量 之间的函数关系式；
（Ⅱ）当产量 确定时，求随机变量 的期望 
；
（Ⅲ）求年产量 为何值时，随机变量 的期望 取得最大值（不需求最大值）．
（20）（本小题满分12分）
已知函数 与 
（ 为常数）的图象关于直线 
对称，且 是 的一个极值点．
（Ⅰ）求出函数 的表达式和单调区间；
（Ⅱ）若已知当 
时，不等式 
恒成立，求 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆C：
的中心关于直线 
的对称点落在直线 
（其中
）上，且椭圆 C 的离心率为 
．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设A（3，0），M、N 是椭圆 C 上关于 轴对称的任意两点，连结 AN 交椭圆于另一点 E，求证直线 ME 与 轴相交于定点．
 |
（22）（本小题满分14分）
数列 
满足：
（
），且 
（
，
N?）．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
．
2008年威海市高考模拟考试
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
D C B B C D C A C C A A
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
（13）
（14）
（15）―1 （16）
三．解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）：
． 3分
依题意，
的周期
，且
，∴ 
．∴
．
∴ 
． 5分
∵ 
[0，
], ∴ 
≤
≤
，∴ 
≤
≤1，
∴ 的最小值为 
，即 
∴
．
∴ 
． 7分
（Ⅱ）∵ 
=2
， ∴ 
．
又 ∵ ∠
∈（0，）， ∴ ∠＝
． 9分
在
△ABC中，∵ 
，
，
∴ 
，
．解得 
．
又 ∵ 0
， ∴ 
． 12分
（18）（本小题满分12分）
解：以A点为原点，AB为轴，AD为
轴，AD
为
轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相
关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（
，0，0），
C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴ M（
，1，0），N（，
，）． 2分
∴ 
（0，
，），
（，0，0），
（，，）． 4分
∴ 
，
．∴ 
，
．
∴ MN ⊥平面ABN． 6分
（Ⅱ）设平面NBC的法向量为
（
，
，
），则
，
．且又易知 
，
．
∴ 
即 
∴ 
令
，则（
，0，）． 9分
显然，（0，，）就是平面ABN的法向量．
∴ 
．
∴ 二面角
的余弦值是
． 12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得
（
）； 3分
同理可得
（）；
（）． 5分
（Ⅱ）
． 8分
（Ⅲ）由上问知
，即
是关于的三次函数，设
，则
．
令
，解得 
或 
（不合题意，舍去）．
显然当 
时，
；当 
时，
．
∴ 当年产量
时，随机变量
的期望 取得最大值． 12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设
（，）是函数 的图象上任意一点，则容易求得点关于直线 
的对称点为
（
，），依题意点（，）在
的图象上，
∴
． ∴ 
． 2分
∴
．
∵ 是 的一个极值点，∴ 
，解得 
．
∴ 函数 的表达式是 
（
）． 4分
∴
．
∵ 函数 的定义域为（
）， ∴ 只有一个极值点，且显然当
时，；当
时，．
∴ 函数 的单调递增区间是
；单调递减区间是
． 6分
（Ⅱ）由 
，
得
，∴ 
． 9分
∴ 
在
时恒成立．
∴
只需求出 
在 时的最大值和
在
时的最小值，即可求得
的取值范围．
∵ 
（当 时）；
（当 时）．
∴
的取值范围是 
．
12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ 
，
∴
．
设O关于直线 
的
对称点为
的横坐标为 
．
又易知直线
解得线段
的中点坐标
为（1，－3）．∴
．
∴ 椭圆方程为 
． 5分
（Ⅱ）显然直线AN存在斜率，设直线AN的方程为 
，代入 并整理得：
．
设点
，
，则
．
由韦达定理得 
，
． 8分
∵ 直线ME方程为 
，令
，得直线ME与x轴的交点的横坐标 
．
将
，
代入，并整理得 
． 10分
再将韦达定理的结果代入，并整理可得
．
∴ 直线ME与轴相交于定点（
，0）． 12分
（22）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）∵
，
，且 
（
，
N?），
∴
． 2分
将
去分母，并整理得 
． 5分
∴
，
，……，，
将这
个同向不等式相加，得 
，∴ 
． 7分
（Ⅱ）∵
，∴ 
． 9分
∴
．即 
． 11分
∴ 
，即
． 14分
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