常德市2007-2008学年度上学期高三水平检测考试题
数 学（理科）
命题人: 张国平(市教科所) 王丽兰(市二中) 黄祖军(桃源一中)
潘建平(汉寿一中) 沈杨(津市一中)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答第Ⅰ卷时，答案填在第Ⅱ卷卷首答题栏内。
2．考试结束后，只交第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.设集合
，
，
,则
A.
B. 
C. 
D.
2.函数
的定义域为
A.[1,+∞) B. (
,+∞) C. (-∞,1]
D. (,1]
3.若
，则下列不等式：①
；②
；③
；④
中，正确的为
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
4.已知l、m为两条直线，
、
是两个平面，则下列命题中的假命题是
A.若
，
，则
B.若，
，则
C.若
，
，则
D. 若
，
，
，
，则
5.已知函数
,则
的最小正周期和最大值分别是
A．
, 1 B．2,, 
D．2
,
6.椭圆中心在原点，且经过定点
，其一个焦点与抛物线
的焦点重合，则该椭圆的方程为
A．
B．
C．
D．
7．在由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位上的数字之和为偶数的共有
A．36个 B． 24个 C．18个 D．6个
8．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分. 现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有
A．11位 B． 12位 C．13位 D．14位
9.已知直线
与圆
相交于A、B两点，且
，则
A. 
B.
C.
D.
10．在数列
中，如果存在正整数
，使得
对于任意的非零自然数
均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期。已知数列
满足
，如果
，当数列的周期最小时，该数列前2008项的和是
A．670 B．
第Ⅰ卷答题处，将正确答案前的字母填入下表相应的空格内。
得 分
评卷人
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
代号
登分栏（由评卷教师填写）
题号
一
二
三
总分
16
17
18
19
20
21
得分
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
注意事项：
1． 第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
得 分
评卷人
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。
11.已知函数
的反函数为
，若
，则a = .
12.已知
，
的夹角为450，要使
垂直，则
.
13.已知等差数列
中,
=1, 
=7,则
= .
14．已知实数x、y满足
, 则 x
+y最大值是 _ __.
15．已知
是关于
的方程
的两个实根，那么
的最小值为 ，最大值为 .
得 分
评卷人
（16）（本小题12分）
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
在△ABC中, 已知角A、B、C的对边分别为
、
、
,且=2, 
,△ABC的面积为
.
(1)求证: 
; (2)求边的长.
得 分
评卷人
（17）（本小题12分）
已知数列
的前n项和
且
=2.
(1)
求的值,并证明：当n>2时有
；
(2)
求证：
.
得 分
评卷人
（18）（本小题12分）
直二面角E-AB-C中，四边形ABEF是矩形，AB=2，AF=
，ΔABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一个动点.
（1）若PB=PF，求异面直线PC与AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小为300，求证：FB⊥平面PAC.
 |
得 分
评卷人
(19) （本小题满分13分）
已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且
.
（1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？
（注：年利润=年销售收入－年总成本）
得 分
评卷人
（20）（本小题满分13分）
已知函数
（1）若函数
的图象
在处的切线与直线
平行，求函数的单调递减区间；
（2）当
时，求函数的图象与直线
的交点的个数.
得 分
评卷人
（21）（本小题13分）
如图,已知双曲线
，其右准线交x轴于点A, 双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F
作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足
,
(I)求双曲线的离心率;
(II) 若=2,过点B的直线
交双曲线于M、N两点,问是否存在
轴上的定点C使
为常数，若存在求出C点的坐标，若不存在，请说明理由.
 |
常德市2007-2008学年度上学期高三水平检测考试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．B 7．A 8．B 9．A 10．D
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。
11.6
12．2 13．80 14．20 15． 0，
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
16．解(1)证明:由
得
∴
………………………………………………4分
(2)由正弦定理得
∴
……① …………6分
又
,
=2, ∴ 
…………② …………8分
解①②得
,
…………………………………………10分
∴
…………………12分
17．解:(1)由
得
,即
=0.……………2分
当n>2时有
∴
……………………………6分
(2)由(1)知n>2时,
……………8分
又=0, 
=2也适合上式,
∴
∴
……………………10分
∴
=1-
<1……………………………………………12分
18．解：（1）分别取BE、AB的中点M、N，
连结PM、MC，PN、NC,则PM=1，MB=
，BC=
，
∴MC=
，而PN=MB=，
NC=
，∴PC=，…………………………4分
∴
故所求PC与AB所成角的余弦值为
………6分
（2）连结AP，∵二面角E-AB-C是直二面角，且AC⊥AB
∴∠BAP即为所求二面角的平面角，即∠BAP=300……8分
在RtΔBAF中，tan∠ABF=，∴∠ABF=600，
故BF⊥AP， ………………………………………10分
又AC⊥面BF，∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC………12分
另解：分别以AB、AC、AF为x、y、z轴建立直角坐标系，
则
，
∴
而
，
∴
故异面直线PC与AB所成的角的余弦值为
（2）分别设平面ABC和平面PAC的法向量分别为
，P点坐标设为
，则
而
，则由
得
且
∴
，
再由
得
∴
，
，
而
∴
，即
BF⊥AP，BF⊥AC∴BF⊥平面PAC
19．解：（1）当0<x≤10时，
……2分
当x >10时，
…………4分
…………………………………5分
（2）①当0<x≤10时，由
当
∴当x=9时，W取最大值，且
……9分
②当x>10时，W=98
当且仅当
…………………………12分
综合①、②知x=9时，W取最大值.
所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.……13分
20．
解: （I）
,依题意有:
,…………………2分
即
,
,由
(也可写成闭区间)……………4分
（2）
(1)
函数
的图象与直线
的交点的个数问题可转化为方程(1)的解的个数问题.
令
则
…………………………5分
①
6分
②
……………………9分
③
∴
的极大值为
∴
的图象与
轴只有一个交点.…………………………………12分
综上所述: 
;
.……………13分
21．解：（1）
B（0，-b）
,即D为线段FP的中点.
∴ 
……………………………2分
,即A、B、D共线.
而 
∴
,得
,
∴
………………………………………5分
（2）∵=2,而
,∴
,故双曲线的方程为
………①
∴B、的坐标为(0,-1)…………………………………………………………6分
假设存在定点C（0，
）使
为常数
.
设MN的方程为
………………②
②代入①得
………………………………………7分
由题意得:
得:
……8分
设M、N的坐标分别为(x1,y1) 、(x2,y2)
…………………………………………………………9分
而=
=
=
=,…………………………10分
整理得:
对满足的
恒成立.
∴
且
解得
存在
轴上的定点C(0,4),使为常数17.…………………………13分
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