1、设集合，则 (  )

Ａ.　　　　　    Ｂ.　　    　 Ｃ.　　　　　   Ｄ.

2、若为锐角，且，则（　　）．

A．         　　       B．           　　     C．             　　   D．１

3、若等差数列满足，，则的值是（    ）

A．20                 B．36                     C．24                 D．72

4、已知是的高的交点， 则有（ 　）．

A．         B．   

C．         D．

5、三鹿奶粉添加三聚氰胺的问题引起了全社会的关注。某市质量监督局为了保证人民的饮食安全要对超市中奶粉的质量进行专项抽查，已知该地区超市中卖的各种类型的奶粉的分布情况如下：老年人专用奶粉300种，普通奶粉240种，婴幼儿奶粉360种，现采用分层抽样的方法抽取150种进行检验，则这三种型号的奶粉依次应抽取（  ）

A. 18种，12种，24种                    B. 7种，30种，10种

C. 50种，40种，60种                    D. 8种，21种，18种

6、设正数，则“”是“”的（   ）

A．充分而不必要条件              B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                   D．既不充分也不必要条件

7、奇函数在上的解析式为，则不等式的解集为（    ）

A．   B．  C．     D．

8、若的展开式中存在常数项，则满足要求的最小偶数是（    ）

A．2                 B．6              C．8              D．10

9、为得到函数的图象，只需将函数的图象按照向量平移，则可以为（　　）．

A． 　　　B．     　　　C．     　　　　D．

10、一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（　　）

A．　　　 　B．　　　    　C．　　　　    D．

11、用与球心距离为的平面去截球，所得截面的面积为，则截面直径的两个端点的球面距离为  (     )

 A.                B.              C.                    D.

12、一次演讲比赛中，需要安排10名选手的出场顺序，方法是按照姓氏笔画顺序（由少至多），如姓氏笔画相同则顺序任意，统计发现10名选手中姓氏4画的有2人，5画的有3人，6画的4人，7画有1人，则不同的出场顺序共有（   ）

A．24种             B．48种             C．144种                D．288种

_{第Ⅱ卷（非选择题  共90分）}

13、已知函数的反函数为，若，则a =        .

14、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为        .

15、将一个长、宽分别是8，7的铁皮的四角均切去边长为的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，则当这个长方体的对角线最短时，的值为     .

16、已知的两顶点A、B是双曲线的左右两个焦点，顶点C在双曲线右支上，则

17、（本小题满分10分）

设的内角所对的边长分别为，且．

（1）求证：；

（2）当时，求；

18、（本小题满分12分）

第29届奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者的概率是．

（1）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人；

（2）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率．

19、（本小题满分12分）

如图，已知平面，平面，三角形为等边三角形，

，为的中点

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求二面角的大小。

20、（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为且满足：，数列满足：

（1）求；

（2）设，求的通项公式；

21、（本小题满分12分）

已知椭圆的右准线方程为，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点.

(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.

22、（本小题满分12分）

在数列中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列（）

（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：．

2009届先知模拟卷数学试题（一）

答案解析及评分标准

1、B  ，，故

_2.Ａ可得，故．

3. C  因，得_，，得，则， ，

则

4．Ｄ   点是的高的交点，则

因此∴

同理可得: ,∴

5、C 根据分层抽样的知识可知，抽样比为，则老年人专用奶粉应该抽取30050种，普通奶粉24040种，婴幼儿奶粉36060种.从而可知答案选C．

6. A  ，平方得， 但反之无法推出，故是充分而不必要条件

_{7、B 根据奇函数图像关于原点对称，观察图像即可}．

8． B  ，,，

则满足要求的最小偶数是6

9、Ａ．，，比较可得．

10、D　依题意得为抛物线的准线，由抛物线定义知圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，故圆必过抛物线的焦点．

11、A  截面半径为1，设球半径为，则，得，当两个点是截面直径端点时易得球心角为60°，则球面距离为

12、D   提示：安排4画的方法有种，5画的方法有种，6画的方法有种，7画的方法有1种，由分步计数原理得=288种

13．6 ， ∴，∴.

14．pa³  以棱长为a的正四面体的四个顶点为顶点，可以补成棱长为a的正方体

，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的，即R=a，所以V_球＝p(a)³＝pa³.

15．  设对角线为，则，根据二次函数单调性可知当时有最小值，且，是符合实际情况的

16、　．

17、(10分)解：（1）在中，由正弦定理及，

可得

即，故； 5分

（2），

故，

得，因，故，于是，

所以当时，  10分

18.(12分)解：（1）记至少一名美国志愿者被分到跳水岗位为事件，则的对立事件为“没有美国志愿者被分到跳水岗位”，设有美国人个，，那么，解得，即来自美国的2人，来自英国的4人．4分

（2）记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件，那么，

所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是．理8分文12分

19．(12分)（1）证明：取的中点，连，

∵为的中点 

∴，而平面，平面，

故，又，

∴四边形为平行四边形

∴,又

所以平面    3分

（2）∵为等边三角形，∴，而

故平面      5分

∵，∴平面

所以平面平面       7分

（3）在平面内作交于，在平面内作交于，连  ∵平面平面  ∴平面，由三垂线定理得

∴为二面角的平面角      9分

设，则，

∴    10分

又，其中  ∴    

∴

所以二面角的大小为（或）      .12分

方法二：

设，则；由已知得

建立如图所示的坐标系，     

则：

∵为的中点，∴      2分

（1）证明：      3分

∵，A不在平面内，∴平面      4分

（2）∵   5分

∴，∴      6分

∴平面，又平面

∴平面平面      7

（3）设平面的法向量为

由可得：     

设平面的法向量为

由可得：      9分

∴    

∴二面角的大小为      12分

20.(12分)解：（1）由得：  则

       当时，  

     故为等比数列，且      6分

 （2）由得： 因，

故    8分

为等比数列，首项；公比 

 12分

21.(12分)解.：(1)由题意可知，又，解得，

椭圆的方程为；4分

（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为

，代入，得，

设，则   ①

，6分

，

而的方向向量为，

;

于是当时,，也即存在这样的直线;

当时,不存在，即不存在这样的直线 .12分

22.解：（1）由条件得，由此可得

．

猜测．

用数学归纳法证明：

①当时，由上可得结论成立．

②假设当时，结论成立，即

，

那么当时，

．

所以当时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．6分

（2）．

时，由（1）知．

故

综上，原不等式成立．12分