试卷类型：A
潮阳一中2007-2008学年度高三级摸底考试试题
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、班级、座号答题卡指定相应的位置上．将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存．
参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
如果事件
互斥，那么
．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集
则a的值为
A．2或－4 B．2 C．－4 D．4
2．如果命题“若p则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是
A．若p则q B．若
则
C．若则
D．以上均不对
3．下面的说法正确的是：
A．所有单位向量相等 B．所有单位向量平行
C．
D．
∥
4．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是
A．异面 B. 相交 C. 平行 D. 不确定
5．设
是方程
的解，则属于区间
A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）
6．函数
满足对任意
有
，则
可以是：
A．
B．
C．－
D．－
7．将一张坐标纸折叠一次，使得点M（0，4）与点N（1，3）重合，则与点P（2004，2010）重合的点的坐标是
A．（2006，2006） B．（2006，2007）
C．（2007，2006） D．（2007，2007）
8．如右面的程序框图，那么，输出的数是
A．2450 B. 2550
C. 5050 D. 4900
9．等差数列
中，
，若数
列
的前
项和为
，则的值为
A、14 B、15
C、16 D、18
10．定义
的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A、
B、
C、
D、
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
11．如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为________．
12．已知
，则函数
的最小值为
．
13．知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且
．则角
的大小是 ．
请从下面两题中选做一题，如果两题都做，以第一题的得分为最后得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为
的两个圆的圆心距为
．
15．（几何证明选讲选做题）如图，在四边形ABCD中，EF//BC，FG//AD，则
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知向量
，
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
，且
的值．
17．（本小题满分12分）
某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
18．（本小题满分14分）
如图，矩形
中，
，
，
为
上的点，且
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证；
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积．
19．（本小题满分14分）
已知圆C：
是否存在斜率为1的直线
，使被圆C截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知数列al，a2…，a30，其中al，a2…，a10是首项为1公差为1的等差数列；al0，a11…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21…，a30是公差为d2的等差数列(d>0)．
(Ⅰ)若a20=40，求 d；
(Ⅱ)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围;
(Ⅲ)请依次类推，续写己知数列，把已知数列推广为无穷数列．再提出同(2)类似的问题,并进行研究，你能得到什么样的结论？
21．（本小题满分14分）
已知函数
上一点P（1，－2），过点P作直线l，
（Ⅰ）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（Ⅱ）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程y=g（x）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求
上单调时，t的取值范围．
潮阳一中2007-2008学年度高三级摸底考试
一、选择题: 1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．D 8．A 9．C 10．B
二、填空题: 11．
12．
13．
14．
15．1
三、解答题:
16.解: （Ⅰ）解：
，
（1分）
（3分）
（4分）
（6分）
（Ⅱ）解：
（7分）
由 
得
（8分）
由 
得
（9分）
（11分）
（12分）
17解: 设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800m2. （2分）
∴蔬菜的种植面积
， （5分）
∵
，
∴
，
（7分）
∴
（m2），
（9分）
当且仅当
，即
时，
m2.
（11分）
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2. （12分）
18解:（Ⅰ）证明：
，
∴
，则
(2分)
又
，则
∴
(4分)
（Ⅱ）证明：依题意可知：
是
中点
则
，而
∴
是
中点 (6分)
在
中，
∴
(8分)
（Ⅲ）解：
∴
，而
∴
∴
(10分)
是中点
∴是
中点 ∴
且
∴
∴
中，
∴
(12分)
∴
(14分)
19解: 圆C化成标准方程为：
(2分)
假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a,b）
由于
① (5分)
直线
的方程为
(6分)
(7分)
即：
② (10分)
由①②得：
(11分)
当
(12分)
当
(13分)
故这样的直线l 是存在的，方程为x-y+4=0或x-y+1=0. (14分)
20解: 解(Ⅰ) al0=10, a20=10+10d=40, ∴d=3 (2分)
(Ⅱ) a30= a20+10d=10(1+d+d2) (d≠0) (4分)
a30=10[(d+
)2+
],
当d∈(-∞,
0)∪(0, +∞)时,
a30∈[
,+∞].
(7分)
(Ⅲ) 续写数列: 数列a30，a31,…，a40是公差为d4的等差数列 (8分)
一般地,可推广为:无穷数列{ an},其中al，a2…，a10是首项为1公差为1的等差数列,
当n≥1时, 数列a10n，a10n+1,…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列. (9分)
研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求a10(n+1)的取值范围 (11分)
研究的结论可以是: 由a40= a30+10d3=10(1+d+d2+ d3),
依次类推可得
a10(n+1)= 10(1+d+d2+…+ dn)= 10?
(d≠1),
10(n+1) (d=1)
当d>0时, a10(n+1)的取值范围为(10, +∞)等 (14分)
21解:（Ⅰ）由
过点P且以P（1，－2）为切点的直线的斜率
，
所求直线方程：
(3分)
（Ⅱ）设过P（1，－2）的直线l与
切于另一点
知：
即：
或
故所求直线的斜率为：
即
(8分)
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
则
在
上单调递增， (11分)
在
得
为两极值点，在
时，
上单调递增，
即
(14分)
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