2009年福建省厦门市高三质量检查测试一
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1． 考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上；
2． 答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A?B）=P（A）?P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k
球的表面积公式：S=4πR2，其中R表示球的半径.
球的体积公式：V=
πR3，其中R表示球的半径.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合
，则
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
B．
C．
D．
2
数
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
3．条件
：不等式
的解；条件
：不等式
的解，则是的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．若
的图象是两条平行直线，则
的值是
A．
或
B． C． D．的值不存在
5．在
内使
成立的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．若函数
的图象过点
，则函数
的图象必过点
A．
B．
C．
D．
7．在正项等比数列
中，
是方程
的两个根，则
的值为
A．32 B．
D．256
8．若函数
，则
A．
B．
C．2
D．
9．已知直线
，其中
为实数，当这两条直线的夹角在
内变动时，的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10．已知是
上的增函数，点
在它的图象上，
是它的反函数，那么不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
11．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
和
，若
是
的等比中项，
是
与
的等差中项，则椭圆的离心率是
A．
B．
C．
D．
12．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买
黄金，售货员先将
的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．
13．已知平面向量
，
，若
，则实数
=_______.
14．已知
满足约束条件
，则
的最大值是______________.
15．已知
点是圆
上任一点，点关于直线
的对称点也在圆上，那么实数等于____________.
16．已知等差数列的前
项和为
，若
，且
，则等于_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
17．（12分）在
中，
是角
所对的边，
是该三角形的面积，且
。
（Ⅰ）求角
的度数；
（Ⅱ）若
，求
的值。
18．（12分）已知实数满足不等式
，解关于的不等式：
19．（12分）已知函数
。
（Ⅰ）若关于的方程
的解都在区间内，求实数的范围；
（Ⅱ）若函数
在区间
上单调递增，求正实数的取值范围。
20．（12分）某商场只设有超市部、服装部、家电部三个部门，共有200名售货员，计划三个部门日营业额共为55万元，各部门的商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润如表（2），若商场预期每日的总利润为万元，且满足
，又已知商场分配给三个部门的日营业额为正整数万元，问商场怎样分配营业额给三个部门？各部门分别安排多少名售货员？
表（1） 表（2）
部门
每1万元营业额所需人数
超市部
4
服装部
5
家电部
2
部门
每1万元营业额所需人数
超市部
0.3万元
服装部
0.5万元
家电部
0.2万元
21．（12分）设抛物线过定点
，且以直线
为准线
（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）已知点
，轨迹上是否存在满足
的
两点？证明你的结论。
22．（14分）设
有唯一解，
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
且
，求证：
（Ⅲ）是否存在最小整数，使得对于任意
，有
成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
2009年厦门市高三质量检查测试一
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）
CDAB，DABC，CBDA
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．0； 14．3； 15．3； 16．10
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）
17．（12分）
解：（Ⅰ）由已知等式得：
…………（2分）
………………（5分）
………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）
……………………………………（8分）
……………………（11分）
………………………………………………………………（12分）
18．（12分）
解：由
………………………………（2分）
①当
时，
；……………………………（6分）
②当
时，
；…………………………………………（8分）
③当
时，
。………………………………（11分）
综上，当时，
；
当时，
；
当时，
。………………………（12分）
19．（12分）
解：（Ⅰ）
………………………………（7分）
（Ⅱ）
………………………（12分）
20．（12分）
解：设商场分配给超市部、服装部、家电部的营业额依次为
万元，
万元，
万元（
均为正整数），由题意得：
………………………………（5分）
由（1），（2）得
………………………………（7分）
………………………………（8分）
………………………………（9分）
………………（11分）
答：分配给超市部、服装部、家电部的营业额分别为12万元，22万元，21万元，售货员人数分别为48人，110人，42人；或者分配给三部门的营业额依次为15万元，20万元，20万元，售货员人数分别为60人，100人，40人。……………………（12分）
21．（12分）
解：（Ⅰ）设抛物线顶点为
，则抛物线的焦点为
，由抛物线的定义可得：
……………………………（6分）
（Ⅱ）不存在。…………………………………………………………（7分）
设过点
，斜率为
的直线方程为
（斜率不存在时，显然不合题意），………………………………………………………………………………（8分）
由
…………………………（9分）
由
………………………………………………………（10分）
假设在轨迹
上存在两点
，令
的斜率分别为
，则
显然不可能满足
∴轨迹上不存在满足
的两点。………………………………（12分）
22．（14分）
（Ⅰ）解：由
，可以化为：
………………………………（1分）
从而
…………………………………………………………（3分）
又由已知
，得：
， 即 
∴数列
是首项为
，公差为
的等差数列，…………………………（4分）
……………………（8分）
（Ⅱ）证明：
……（9分）
（12分）
（Ⅲ）解：由于
，若
恒成立
………………………………（14分）
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