转化 转化 面面平行 线面平行线线平行； 
主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．? 2.
如图所示，四棱锥P―ABCD中，AB AD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。 解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直， 二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.  答案：（1）  是 的中点，取PD的中点 ，则
   ，又
 四边形 为平行四边形
 ∥ ，
∥ （4分） （2）以 为原点，以、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ， ， ， 在平面 内设 ， ， ， 由   由     是 的中点，此时 （8分）
（3）设直线与平面 所成的角为  ， ，设 为
 
故直线与平面所成角的正弦为 （12分） 解法二： （1）是的中点，取PD的中点，则  ，又
四边形为平行四边形 ∥，
∥ （4分） （2）由（1）知为平行四边形   ，又
 同理 ，
  为矩形  ∥ ， ，又
  
 作 故
 交于，在矩形内， ，
 ， 为的中点
当点为的中点时， （8分） （3）由（2）知为点到平面的距离， 为直线与平面所成的角，设为， 直线与平面所成的角的正弦值为 点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来 3.
如图，四棱锥 中，侧面 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面 是 的菱形， 为 的中点. (Ⅰ)求 与底面所成角的大小； (Ⅱ)求证： 平面 ； (Ⅲ)求二面角 的余弦值. 解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP= ． ∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．
……6分 (II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．  建立空间直角坐标系如图，则 ,  ．
由M为PB中点，∴ ． ∴  ． ∴ ，  ．
∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC． ……4分 (III) ．令平面BMC的法向量 ， 则 ，从而x+z=0； ……①,  ，从而 ．
……② 由①、②，取x=−1，则 ． ∴可取 ． 由(II)知平面CDM的法向量可取 ， ∴ ．
∴所求二面角的余弦值为－ ． ……6分 法二：（Ⅰ）方法同上
（Ⅱ）取的中点 ，连接 ，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则 ，又 ，则 ，即 ， 又在 中，中位线  ， ，则 ，则四边形 为 ，所以 ，在 中， ，则 ，故 而 ， 则 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 ，则 为二面角的平面角，在 中，易得  ， ，  故，所求二面角的余弦值为
点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法. 4.
如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE= ，ED//AF且∠DAF=90°。  （1）求BD和面BEF所成的角的余弦；
（2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。
1,3,5 答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系， 则B（2，0，0），D（0，0，2）， E（1，1，2），F（2，2，0）， 则  设平面BEF的法向量
 ，则可取 ，
∴向量 所成角的余弦为  。
即BD和面BEF所成的角的余弦 。 （2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为  则向量 ，向量 
所以 。 点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。 5.
已知正方形 、 分别是、 的中点,将 沿 折起,如图所示,记二面角 的大小为 (I) 证明 平面 ; (II)若 为正三角形,试判断点在平面 内的射影 是否在直线 上,证明你的结论,并求角的余弦值  分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.
解: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点, EB//FD,且EB=FD, 四边形EBFD为平行四边形 BF//ED.  ,平面
(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD  ACD为正三角形,AC=AD.
CG=GD. G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上, 过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则 ,所以 为二面角A-DE-C的平面角 即 . 设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF= ,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形,  .  在RtADE中,   .
 ,
点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量. 6.
设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.  分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.
解：
∵AB⊥AD，AB⊥MA， ∴AB⊥平面MAD， 由此，面MAD⊥面AC. 记E是AD的中点，从而ME⊥AD. ∴ME⊥平面AC，ME⊥EF. 设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球. 不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心. 设球O的半径为r，则r＝ 设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1. ∴ME＝ .MF＝ , r＝ ≤ ＝-1。 当且仅当a＝，即a＝时，等号成立. ∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1. 点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。 试题详情
江苏省常州高级中学 2008～2009学年高三年级第二次阶段教学质量调研 物 理 试 卷
2008.10 说明：1. 以下题目的答案全部做在答卷纸上。
2. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题, 共38分)和第Ⅱ卷(非选择题, 共82分)两部分．考试时间为100分钟，满分为120分． 第Ⅰ卷(选择题 共38分) 试题详情
淮安市2009届高三年级十月四校联考 物理试卷
考生注意：1.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。试卷总分120分，考试用时100分钟 2．请将第Ⅰ卷（选择题）答案填涂到答题卡上，第Ⅱ卷（非选择题）答案填写到答卷纸上，否则答题无效。 第Ⅰ卷 选择题（共31分） 试题详情
2009届高考数学压轴题预测 专题七 应用性问题 1.
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 分析：本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识，考查运用数学知识分析解决问题的能力。 解析（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为  ， ， ， ．则2006年全球太阳电池的年生产量为  (兆瓦)． （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 ，则 ．解得 ．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 ． 点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。 2.
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 元（ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 元（ ）时，一年的销售量为 万件．（Ⅰ）求该分公司一年的利润 （万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求出的最大值 ． 分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力． 解析：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：  ． （Ⅱ）  ，令 得 或 （不合题意，舍去）．  ， ． 在两侧 的值由正变负．
所以（1）当 即 时，
 ．
（2）当 即 时，
 ，
所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值 （万元）；若，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润最大，最大值 （万元）． 点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解决此题的关键。 3. （07安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列. 分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问题的能力。 解析：（1）我们有 （ ） （2） ，对反复使用上述关系式，得：   。①
在①式两边同乘以 ，得：  ②
由②－①，得  ，即
 。
 如果记 ，  ，则 ，其中 是以 为首项，以 为公比的等比数列； 是以 为首项，以 为公差的等差数列。
点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。 4.
如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A1处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？（07山东理） 分析：本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解决问题的能力。 解析：如图，连结 ， ， ，
 是等边三角形， ，在 中，由余弦定理得  ，
 ， 因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行 海里. 点评：连接，构造两个可解的三角形与是处理此题的关键，此外，还可连接 来解。 5.
 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结
果为A级的概率如表一所示，分别求生产
出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 
η分别表示一件甲、乙产品的利润，在
（I）的条件下，求ξ、η的分布列及 Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额
如表三所示.该工厂有工人40名，可用资.
|
项目 产品 工人（名） 资金（万元） 甲 8 8 乙 2 10
2009届高考数学压轴题预测 专题二 数列 1. 已知函数 ， 是方程f(x)＝0的两个根 ， 是f(x)的导数；设 ， (n＝1，2，……) (1)求的值； (2)证明：对任意的正整数n，都有 ＞a； (3)记 (n＝1，2，……)，求数列{bn}的前n项和Sn。 解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的两个根， ∴ ； (2) ， ＝ ，∵，∴有基本不等式可知 (当且仅当 时取等号)，∴ 同，样 ，……， (n＝1，2，……)， (3) ，而 ，即 ，  ，同理 ， ，又
2.
已知数列 的首项 （a是常数，且 ）， （ ），数列 的首项 ， （）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设 为数列的前n项和，且 是等比数列，求实数 的值； （3）当a>0时，求数列的最小项。 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。 解：（1）∵ ∴  (n≥2) 由得 ， ， ∵，∴
 ， 即 从第2项起是以2为公比的等比数列。 （2） 当n≥2时， ∵ 是等比数列, ∴ (n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 。 （3）由（1）知当时， ， 所以 ， 所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…… 显然最小项是前三项中的一项。 当 时，最小项为8a-1； 当 时，最小项为4a或8a-1； 当 时，最小项为4a； 当 时，最小项为4a或2a+1； 当 时，最小项为2a+1。 点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 考点二：求数列的通项与求和 3.
已知数列 中各项为：
12、1122、111222、……、  ……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn . 分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。 解：（1）
 
个   = A
(A+1) ，
得证
(2)
  
点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 4.
已知数列 满足 ， ． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列的前 项和； （Ⅲ）设 ，数列 的前项和为 ．求证：对任意的 ， ． 分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。 解：（Ⅰ） ， ， 又 ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．  ， 即 . （Ⅱ） ．  ．
（Ⅲ） ，  ．
当 时，则  
 ．
 ， 对任意的，．
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。 考点三：数列与不等式的联系 5.
已知 为锐角，且 ， 函数 ，数列{an}的首项 . ⑴ 求函数 的表达式； ⑵ 求证： ； ⑶
求证： 分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。 解：⑴ 又∵为锐角
∴ ∴  ⑵  ∵ ∴ 都大于0
∴
∴ ⑶  ∴
∴
 ∵ ,  ,
又∵
∴
∴
∴ 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。 6.
已知数列 满足 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足 ，证明：是等差数列； （Ⅲ）证明： 分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。 解：（1） ， 故数列 是首项为2，公比为2的等比数列。  ，
（2） ，  ①
 ②
②―①得 ，即 ③  ④
④―③得 ，即 所以数列 是等差数列 （3） 设 ，则  
点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。 7.
已知函数 ,数列满足 ,  ; 数列满足 ,  .求证:
（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）若 则当n≥2时, . 分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。 解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明 ,. （1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即 .则当n=k+1时, 因为0<x<1时, ,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在 上连续,所以f(0)<f( )<f(1),即0< . 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立. 又由, 得 ,从而 . 综上可知 (Ⅱ)构造函数g(x)= -f(x)=  ,
0<x<1, 由 ,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为,所以 ,即 >0,从而 (Ⅲ) 因为 ,所以 ,  , 所以 ――――① , 由(Ⅱ) 知: , 所以 = , 因为 , n≥2, 所以
 < < = ――――② . 由①② 两式可知: . 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。 考点四：数列与函数、向量等的联系 8.
已知函数f(x)= ，设正项数列满足 =l，． (1)写出 、 的值; (2)试比较与 的大小，并说明理由； (3)设数列满足 =－，记Sn= ．证明：当n≥2时,Sn＜ (2n－1)． 分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：(1) ，因为 所以 （2）因为 所以  ,
因为 所以 与 同号， 因为 ，  …， 即 （3）当 时，  ，
所以 ， 所以 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。 9.
在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中  ，满足向量 与向量 共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的 线上 （1）试用a与n表示 ； （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。 分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。 解：（1） 又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上， 
 （2）∵二次函数 是开口向上，对称轴为 的抛物线 又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项， ∴对称轴 点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。 试题详情
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∵ DE
平面CDB1，AC1
平面CDB1，
，2,0）
＝（－3,0，0），
＝（0，－4,0），∴
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵
＝（－
＝（－3,0，4），∴
，∴DE∥AC1.
最大？最大值是多少？
、
的分别列是
目标函数为
取最大值. 解方程组
即
时，z取最大值，z的最大值为25.2 .
表示经销一件该商品的利润。
；
。www.xkb123.com
表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
元，
元，
元．
，
，
．
（元）．
与水平地面的夹角为
, 
试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）
直线l的方程为
即
设点P的坐标为（x，y）， 则
由经过两点的直线的斜率公式
由直线PC到直线PB的角的公式得，
达到最小，由均值不等式
时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 
所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平地面
如图，设曲线
在点
处的切线
轴所围成的三角形面积为
，求（1）切线
，
切线
，即
，又令
，
的最大值为
，即
上的两个函数
和
，如果对任意的
，均有不等式
成立，则称函数
与
，给定区间
.
（*）
，而
的右侧，
在区间
时，函数
时，函数