中考数学试题分类汇编---分式方程

1．（2006?湖州市）分式方程的解是x=­_________.x=1

2.（2006?攀枝花市） 分式方程的解是： x = 0   .

3．（2006?日照市）已知，关于x的方程，那么的值为          ．  -1

4．（2006?南通市）用换元法解方程，若设，则可得关于y的整式方程_______．2y²-4y+1=0

5．（2006?河北省）用换元法解分式方程时，如果设，那么方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是            ．；

6. （2006?益阳市）解分式方程时，去分母后得（  ）A

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　

C. 　　　　 D.

7．（2006?嘉兴市）有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意，可得方程（　C　） 

A.      B.    C.    D.

8．（2006?深圳市）解方程：

解：原方程变形，得=1+,去分母，得2-x=x-3+1,得x=2.

9.解方程：.

解:去分母得2x-5=3(2x-1)

即2x-5=6x-3， ∴4x=-2，x=.

当x=时,2x-1≠0，所以x=是原方程的解

10．（2006?青岛市）解分式方程：=1。

解：=1

2－x－1＝x－3，   －2x＝－4

∴ x ＝2 

检验：把x＝2代入原方程得：左边＝1＝右边

∴ x ＝2是原方程的根．

11. （2006?北京市海淀区）解分式方程：

 解：去分母得：

    去括号得：

    解得：

    经检验是原方程的解。

   所以原方程的解为。

12．（2006?济南市）解方程：．

解：方程两边同乘以，得．

解这个方程，得．

检验：将代入原方程，得左边右边．

所以，是原方程的根．

13．（2006?绍兴市）解方程      x=4

14．（2006?盐城市） 解方程：

（换元法）设：              

  则原方程即为：2y²-y-1=0              

解之得：     

由得：x₁=x₂=-1

由得：x²-x+1=0，此方程无解

经检验：x=1是原方程的解，故原方程的解为x=1

15.（2006?旅顺口区）已知关于x的方程的一个解与方程的解相同．

⑴求k的值；

⑵求方程的另一个解.

解：（1）∵，  ∴ ，∴          

经检验是原方程的解 ，  

把代入方程 ，解得k=3              

（2）解，得，x₂=1   

∴方程的另一个解为x=1  

16．（2006?陕西省） 用换元法解方程x²－3x－1＝．

解：设x²－3x＝y，则原方程化为y²－y－12＝0                             

　　解这个方程，得y＝－3或y＝4                                           

　　当y＝－3时，有x²－3x＋3＝0，无解                                     

　　当y＝4时，有x²－3x－4＝0，解得

　　x₁＝4，x₂＝－1．                                                      

　　经检验：x₁＝4，x₂＝－1是原方程的根．

　　所以，原方程的根为x₁＝4，x₂＝－1．

17.（2006?吉林长春）A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？

 设B城市每立方米水的水费为x元，则A城市为1.25x元，   

解得x = 2。                    

经检验x = 2是原方程的解。 1.25x = 2.5（元）。                  

答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。

18.（2006?山东日照）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：

（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用是多少万元？

（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，

由题意得方程组：，      

解之得：x=40，y=60．         

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成．                          

由（1）知，乙工程队30天完成工程的，

∴甲工程队需施工÷=20（天）．

最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=2．25（万元）．

答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；

　（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是2．25万元． 　　　　　　　　

19. （2006?锦州市）锦州市疏港快速干道(锦州至笔架山)将于2006年8月正式通车.届时锦州至笔架山的公路运行里程将由目前的34千米缩短至28千米，设计时速是现行时速的1.25倍，汽车运行时间将缩短0.145小时.求疏港快速干道的设计时速.

解：方法一：

　　 设现行时速是x千米/时，则疏港快速干道的设计时速是1.25x千米/时.根据题意，得.解这个方程，得x=80.　　经检验，x=80是所列方程的根.

　　　　　1.25×80=100(千米/时).

　　答：疏港快速干道的设计时速是100千米/时.  

方法二：设疏港快速干道的设计时速是x千米/时，则现行时速是0.8x千米/时.

　　根据题意，得.

　　解这个方程，得x=100.

　　经检验，x=100是所列方程的根.

答：疏港快速干道的设计时速是100千米/时.

20．（2006?长沙市）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．

（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；

（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．

（1）解：设乙工程队单独完成这项工程需要天，根据题意得：

　　　　　　解之得：  经检验：是原方程的解．

　　　　　答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．

　　　　（2）解：设两队合做完成这项工程所需的天数为天，根据题意得：

　　　　　　　　　解之得：

　　　　　答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天．

21．张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买A型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分．两种型号信封的单价各是多少?

解：设B型号的信封的单价为x分，则A型号的信封的单价为(x+2)分，

根据题意，得.去分母，整理得x²-7x-8=0．

解这个方程，得x₁=8，x₂=-1．

经检验x₁=8，x₂=-1都是原方程的根．但是负数不合题意，舍去．所以x+2=10．

答：A型号的信封的单价为1角，B型号的信封的单价为8分．

22. （2006?枣庄市）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．

解：设今年5月份汽油价格为x元／升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元／升．根据题意，得       

整理，得 x² - l.8x - 14.4 = 0

解这个方程，得x₁=4.8，x₂=-3

经检验两根都为原方程的根，但x₂＝-3 不符合实际意义，故舍去．

答：今年5月份的汽油价格为4.8元／升．

23. (2006?广安市)甲、乙两地间铁路长2400千米, 经技术改造后, 列车实现了提速. 提速后比提速前速度增加20千米/时, 列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时. 已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时. 请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速?

 解: 设提速后列车速度为x千米/时, 则:

解之得: x₁=120  x₂=－100(舍去)  

经检验x=120是原方程的根

∵120<140   ∴仍可再提速

答: 这条铁路在现有条件下仍可再次提速.

24． 某公司开发的960件新产品，需加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品. 在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.

（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？

（2）该公司要选择省时又省钱的工厂加工，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，才可满足公司要求，有望加工这批产品.

解：（1）设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工（x+8）件　　

   　由题意得：－20 = 　　　　　　　　　　　

   　解之得：x₁=－24, x₂=16.

经检验，x₁、x₂均为所列方程的根，但x₁=－24 不合题意，舍去．此时x +8 = 24．

   答：甲工厂每天加工16件，乙工厂每天加工24件．　　　　　　　

  　　（2）由（1）可知加工960件产品，甲工厂要60天，乙工厂要40天．所以甲工厂的加工总费用为60（800 + 50）=51000(元)．　　　　　　

    设乙工厂报价为每天m元，则乙工厂的加工总费用为40（m + 50）元 ．

    由题意得：40（m + 50）≤51000，解之得m≤1225 　　　 

答：乙工厂所报加工费每天最多为1225元时，可满足公司要求，有望加工这批产品．

25.（2006上海闸北）本市进入汛期，部分路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公司决定将一段路的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．如果甲、乙两队合做需12天完成此项工程；如果甲队单独完成此项工程需20天，

求：（1）乙队单独完成此项工程需多少天？

（2）如果甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，那么乙工程队至少要施工多少天？

（1） 设乙队单独完成此项工程各需x天

乙队工作效率:  

x=30  

答：乙队单独完成此项工程各需30天. 

（2） 设甲、乙两工程队合作完成此项工程各需m天和n天

答：要使完成该工程所需费用不超过35万元，那么乙工程队至少要施工15天.

26. （2006?江 西 省）解方程：

 解：去分母，得    

去括号，得    

移项合并，得    

系数化为1，得 x = 2.  

经检验 x = 2 是原方程的根.

∴ 原方程的根为x = 2.      

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大连市2009年高三年级第一次模拟考试

文科综合能力测试

说明：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。全卷共300分。考试用时150分钟。

2．试题全部答在“答题纸”上，答在试卷上无效。

第Ⅰ卷   选择题（140分）

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2008年高考数学试题分类汇编

 函数与导数

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大连市2009年高三年级第一次模拟考试

理科综合能力试题

说明：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第30―37题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H：1  C：12  N：14  O：16   S：32  Cu：64   Fe：56

第Ⅰ卷

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山东省兖州高补学校2009届高三模拟

2009年高补学校   

数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ第（选择题）两部分，共1 50分，考试时间1 20分钟

第Ⅰ卷

选择题（本题共12个小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有1个是正确的）

1．含有3个元素的集合既可表示为，又可表示为，则的值是（      ）

    A．1        B．      C．      D．

2．复数是纯虚数，则 （    ）

    A．      B．1        C．        D．

3．给出如下三个命题：

①若“P且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；

③四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；

④ 在中，“”是“”的充分不必要条件。

其中不正确的合题的个数是 （    ）

A．4           B．3          C．2           D．1

4．在棱长为2的正方体中， 是的中点，则到平面的距离是（    ）

    A．        B．      C．       D．

5．已知函数则二项式展开式中数项是（    ）

    A．第7项     B．第8项      C．第9项      D．第10项

6．若，则大小关系是（    ）

    A．     B．     C．    D．

7．等差数列的前项和为，若…则等于（    ）

A．        B．       C．0       D．1

8．在如图所示的流程图中，若输入值分别为则输出的

数为（    ）

10．曲线和直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为…则等于

A．        B．        C．        D．

11．已知抛物线与双曲线有相的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是  （    ）

A．        B．         C．        D．

12．设函数在定义域为，如果对任意的，存在唯一的，便（为常数）成立，则称函数在上的均值为，给出下列四个函数：①；② ③；④，则满足在其定义域上的均值为2的所有函数是  （    ）

A． ①②       B． ③④        C．②④       D．①③

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上。

          2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚。

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2009年高考历史冲刺（一）：预测主观题汇编

1、阅读下列材料

材料一  汉代华美轻柔的丝织品，经过“丝绸之路”远销到以罗马为中心的地中海地区，中国因此被称为“丝国”。                     ――人民版?必修二《古代中国经济的基本结构与特点》

                        汉代丝绸之路

材料二  “不断扩大产品销路的需要，驱使资产阶级奔走于全球各地。它必须到处落户，到处创业，到处建立联系……过去那种地方和民族的闭关自守状态，被各民族的各方面的互相往来和各方面的互相依赖所代替了”。――马克思

图2  19世纪晚期英国海外贸易示意图

材料三  ……需要积极努力确保发展中国家，尤其是最不发达国家在国际贸易增长中的份额与其经济发展需要相称。……――世界贸易组织宗旨

图3  1948年以来世界贸易组织（前身为关税和贸易总协定）成员国

请回答：

（1）根据材料一，概括我国汉代商业发展的基本特征，(2分)试从经济和政治方面分析形成这一特征的原因。(2分)

（2）从图1到图2，商业贸易的范围发生了怎样的变化?(2分)材料二中马克思认为这种现象的产生与什么因素有关?  (1分)

（3）图3反映世界贸易组织成员国的构成发生了怎样的变化?  (1分)结合材料三，谈谈你对这一变化成因的认识。(2分)

（4）结合图2和图3，说说当今世界经济发展的趋势。(2分)

2、阅读下列材料：

材料一  2008年1月1日，北美自由贸易协定中的农牧业条款正式生效，墨西哥4种农产品玉米、大豆、蔗糖和奶粉市场对美国、加拿大完全开放。1月31日，墨西哥农民举行大规模示威（下图），要求政府就协定中的农牧业条款展开重新谈判。                                          

――摘自新华网

材料二  2004年9月，西班牙发生不法分子焚烧华商鞋店事件（右图）。有人打出标语：“把埃尔切（西班牙制鞋业中心）所有亚洲鞋子都赶出去。”

――摘自新浪网

材料三  大众汽车制造公司的新型车“POLO”，虽然是在沃尔夫斯堡（德国城市）组装的，但是几乎有一半部件来自国外。……单是在德国汽车制造部门中，从1991年到1995年，就失去了30万个工作岗位。

材料四  （德国）总理（科尔）说：“我们太贵了”，……有一个词开始走红：既得利益。……据说这些既得利益现在都需要打破。……（既得利益）指的是病假工资、子女补贴费、对不当解雇的保护、失业救济金、国家创造就业机会、每周5天工作制、每年30天法定休假，……1996年4月出台的政府施政纲领使用了这样的标题：《为了增长和就业》。科尔和他的部长们现在开始剥夺这些既得利益，全面削减各种社会福利和工资。……（这些政策的）核心理论之一是德国的社会福利国家变得愈来愈昂贵了，过多的公民……宁愿领取社会福利金而不去工作。

――汉斯―彼得?马丁    哈拉尔特?舒曼《全球化陷阱――对民主和福利的进攻》

请回答：

（1）材料一和材料二反映的相同问题是什么？

（2）新航路开辟以来，世界经济全球化趋势不断加强。请结合明清以来正反两个方面的史实，分析我国加入WTO的历史必然性。

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2008届新课标高三第一次调查测试数学试卷（理）2007.9

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09年高考政治押题卷大集结（7）

1.根据国内外经济形势的变化，国务院确定了进一步扩大内需，促进经济增长的十项措施，宣布2009―2010两年额外投资4万亿元，用于加快建设保障性安居工程、农村基础实施建设和铁路、公路和机场等重大基础设施建设及地震灾区重建投入等。这些巨款投入

①是社会总供给的一部分　②是社会总需求的一部分　③代表着国家可以支配的商品　④会形成社会购买力

A.①③       B.①④       C.②③      D.②④

2.假设1部手机=4辆自行车=2克黄金成立，若手机行业劳动生产率翻一番，自行车行业劳动生产率翻两番，而黄金的社会必要劳动时间延长一倍，其他条件忽略不计，则下列等式成立的是

A.1部手机=16辆自行车=1克黄金      B.1部手机=8辆自行车= 1克黄金

C.2部手机=16辆自行车=1克黄金      D.2部手机=8辆自行车=1克黄金

3.国务院决定从2008年12月起，在全国推广“家电下乡”活动。四类产品（彩电、冰箱、洗衣机、手机），按产品销售价格13%予以补贴。财政补贴政策支持“家电下乡”，这对我国经济发展的意义在于（    ）

①为企业开拓市场，促进家电产业的发展    ②拉动农村消费升级，提高农民生活水平，协调城乡发展③增加市场流通中的货币，降低物价④拉动国内需求，促进经济增长

A．①② B．①②④   C．①③④   D．②③

2009年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中指出，2009年全国财政赤字拟安排

9500亿元．这一数字创新中国成立60年的最高纪录据此回答4～5题。

4.温家宝总理在十一届全国人大二次会议作政府工作报告时说，2009年全国财政赤字拟安排合计为9500亿元。意味着

①中国将继续实施积极的财政政策             ②中国将继续实施适度从宽的货币政策 ③用最主动、最直接、最有效的办法扩大内需，刺激经济增长    

④可以弥补财政减收增支形成的缺口

A.①②③        B.②③④          C.①③④           D.①②④

5.温家宝总理说：“9500亿元，这是中国综合国力“可以承受的”，总体上也是安全的。”。其唯物论依据是

A.坚持了适度的原则                       B.坚持了具体问题具体分析

C.坚持了一切从实际出发                   D.坚持用联系的观点看问题

6.中国书法历史悠久，从甲骨文、金文演变为大篆、小篆、隶书。到东汉、魏、晋时期，草书、楷书、行书基本定型，形成了百家争鸣的景象，回顾书法发展的过程，“商周尚象，秦汉尚势，晋人尚韵，唐人尚法，宋人尚德”。这说明

①事物的整体和部分是相互转化　②事物在批判与继承、联系与创新中发展　③事物的变化发展是前进性与曲折性的统一　④事物的矛盾在不同阶段具有不同的特点

A.①②  B.②④  C.①③  D.③④

“绿色奥运、科技奥运、人文奥运”，是2008年北京奥运会的三大理念，它贯穿了奥运会的筹办、召开的全过程,据此回答7―8题。w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com

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7.在北京奥运会游泳项目比赛中，破纪录的选手无一例外地穿上了一种叫“鲨鱼皮”泳衣。该泳衣由极轻、低阻、防水和快干性能LZRPulse面料组成，以高科技熔接生产的无皱褶比赛泳装。在奥运会之前，“鲨鱼皮”已经显示出惊人的威力，而奥运会则将这一威力推向了最高潮。这表明（   ）

A．实践是认识的来源，是认识发展的动力       B．认识的发展与进步促进着实践的发展

C．认识在实践的基础上不断地向前发展         D．在实践中，科技比人的作用更为重要

8.2008年10月17日，北京奥运会、残奥会志愿者工作总结表彰大会召开。北京奥组委、北京奥运会志愿者工作协调小组，对10000名做出突出贡献的志愿者进行表彰，授予“北京奥运会、残奥会志愿者先进个人”荣誉称号。材料体现了（  ）

A．集体主义是人人都在践行的价值观      

B．人生价值的实现受一定的社会历史条件制约

C．人生的自我价值与社会价值是统一的      

D．个人对社会的贡献是多方面的

9.2008年5月28日尼泊尔制宪会议宣布尼泊尔为联邦民主共和国，从而结束了有近240年历史的沙阿王朝。在7月21日尼泊尔制宪会议投票选举中，尼泊尔大会党总统候选人拉姆?亚达夫当选尼泊尔历史上第一任总统。据此判断，下列说法不正确的是(   )

A．拉姆?亚达夫作为总统拥有实权

B．尼泊尔总理握有行政大权

C．议会是国家的权力中心

D．尼泊尔实行议会制民主共和制

10.4万亿元国家投资落子民生：加快建设保障性安居工程、加快医疗卫生、教育文化等社会事业建设……民生改善正驶入快车道。这体现了（   ）

①中国共产党是社会主义事业的领导核心        ②坚持党的群众路线，落实科学发展观

③坚持对人民负责的原则                      ④转变政府职能，建设服务型政府

A．①②             B．①③                 C．②③                D．②④

11.家电下乡、返乡农民工就业、农村垃圾处理……全国政协十一届二次会议上的提案，大多与民生相关。在我国，政协          （    ）

①是重要的决策议事机构      ②具有参政议政的职能

③是爱国统一战线组织       ④是民主党派之间的政治联盟

    A．①②    B．②③    C．③④    D．②④

12．2008年12月26日，我国海军舰艇编队赴亚丁湾护航，任务是保护航经亚丁湾、索马里海域船舶和人员以及国际组织运送人道主义物资船舶的安全。这说明

①中国在积极实施主权国家的管辖权

②中国既维护了本国利益又维护了人类的共同利益

③中国在积极履行国际义务和责任

④恐怖主义已成为和平与发展的主要障碍

A②③④    B①②④    C①②③    D．①③④

13. 阅读材料，回答下列问题。（32分）

材料一w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com

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 图一：中国汽车产量占全球比例图二：2007年乘用车市场自主与合资品牌销量比较

注：2008年，我国汽车产量达934.25万辆，居世界第二。

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锦州市2009年高三质量检测（三）

数学（文）

注意事项：

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 。

第I卷   （选择题   共60分）

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2009理科综合物理压轴题精选(一)

1．如图1-61所示,粗糙的斜坡倾角α=30°,有一物体从点A以某一初速度开始向上运动,经过2s到达点B速度恰好为零,然后又从点B返回点A,已知点A、B间距离为16m,求从点B返回点A所需的时间.(g = 10m/s²).

【解答】

物体沿斜面向上运动过程中,有… ①　      … ②

物体沿斜面向下运动过程中,有　… ③　      … ④

由②式,得　m/s² … ⑤      由①、⑤式,得　 … ⑥

代入③式,得　m/s² … ⑦      由④、⑦式,     得　s

2．研究下面的小实验: 如图1-65所示, 原来静止在水平面上的纸带上放一质量为m的小金属块, 金属块离纸带右端距离为d, 金属块与纸带间动摩擦因数为μ. 现用力向左将纸带从金属块下水平抽出, 设纸带加速过程极短, 可以认为纸带在抽动过程中一直做匀速运动. 求:

(1) 金属块刚开始运动时受到的摩擦力的大小和方向;

(2) 要将纸带从金属块下水平抽出, 纸带的速度v应满足的条件.

【解答】

(1) 金属块与纸带达到共同速度前,金属块受滑动摩擦力为, 方向向左.

(2) 对金属块, 

设抽出纸带的最小速度为,即纸带从金属块下抽出时金属块速度恰等于.,

金属块位移为,    纸带位移为,

两者恰好距离为,  可得， 故要抽出纸带,纸带速度  

3．羚羊从静止开始奔跑, 经过50m的距离能加速到最大速度为25m/s, 并能维持一段较长时间;猎豹从静止开始奔跑, 经过60m的距离能加速到最大速度为30m/s, 以后只能维持此速度4.0s.设猎豹距离羚羊X时开始攻击, 羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑, 假设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动, 且均沿同一直线奔跑, 则

(1) 猎豹要在其加速阶段追到羚羊, X值应在什么范围?

(2) 猎豹要在最大速度减速前追到羚羊, X值应在什么范围?

【解答】

(1)    根据题意,猎豹奔跑时的加速度为 m/s²,

猎豹加速的时间为s,

羚羊奔跑时的加速度为m/s², 羚羊加速度时间 s

由于羚羊晚跑1s, 所以猎豹在加速阶段追到羚羊,

x值的范围应为    m.

(2) 根据题意, 猎豹以最大速度且在极限时间内奔跑的距离是m,

猎豹一共奔跑的距离为　m.

羚羊在猎豹开始攻击1.0 s后才开始奔跑, 设羚羊以最大速度奔跑了3 s,

羚羊以最大速度奔跑的距离为25 m/s×3 s = 75 m,

羚羊一共奔跑的距离为s′= 50 m+75m = 125m.

猎豹攻击羚羊的距离范围为x ≤ 180 m ? 125 m = 55 m.

4．如图所示的装置可以测量飞行器在竖直方向上做匀加速直线运动的加速度．该装置是在矩形箱子的上、下壁上各安装一个可以测力的传感器，分别连接两根劲度系数相同（可拉伸可压缩）的轻弹簧的一端，弹簧的另一端都固定在一个滑块上，滑块套在光滑竖直杆上．现将该装置固定在一飞行器上，传感器P在上，传感器Q在下．飞行器在地面静止时，传感器P、Q显示的弹力大小均为10 N．求：

(1)滑块的质量．（地面处的g=10 m/s2)

(2)当飞行器竖直向上飞到离地面处，此处的重力加速度为多大？(R是地球的半径）

(3)若在此高度处传感器P显示的弹力大小为F'=20 N，此时飞行器的加速度是多大？

解：(1)

(2)

解之得

(3)由牛顿第二定律，得,

所以

5．如图1-71所示, 质量为M的滑块B套在光滑的水平杆上可自由滑动, 质量为m的小球A用一长为L的轻杆与B上的O点相连接, 轻杆处于水平位置, 可绕O点在竖直平面内自由转动.

(1) 固定滑块B, 给小球A一竖直向上的初速度, 使轻杆绕O点转过90°, 则小球初速度的最小值是多少?

(2) 若M = 2m, 不固定滑块B, 给小球A一竖直向上的初速度v₀, 则当轻杆绕O点恰好转过90°, 球A运动至最高点时, 滑块B的速度多大?

【解答】

(1) 小球A的竖直速度为时, 运动到最高点的速度恰为零,

根据机械能守恒, 得　,则 .

(2) 当球A运动至最高点时速度为, 此时滑块B的速度为v2, 且,

A、B水平方向动量守恒,得　,

根据能量守恒,得,    解得　.

6．如图1-75所示, 半径为2R的1/4圆弧轨道AB和半径为R的1/4圆弧轨道BC相切于B点, 两轨道置于竖直平面内. 在C点的正上方有一厚度不计的旋转平台, 沿平台的一条直径上开有两个小孔P、Q. 两孔离轴心等距离, 旋转时两孔均能达到C点的正上方. 质量为m的小球甲从A点以初速度v₀= 2gR开始下滑, 在B点与质量为m的乙球发生弹性碰撞, 碰后乙球沿轨道过C点, 且恰能无碰撞穿过小孔P. 为了使小球能从小孔Q落下(不计所有阻力).求:

(1) 乙球到达C点时对轨道的压力;

(2) 平台的角速度ω应满足什么条件.

【解答】

(1)甲球从A到B机械能守恒,即,

在B点,甲、乙两球发生弹性碰撞, 交换速度后, 有.

乙球从B到C, 机械能守恒,有,解之得　.

在C点轨道对乙球的弹力提供向心力, 即.

根据牛顿第三定律,有　,方向向右, 大小为

.

 (2) 乙球在空中运动的时间为,平台转过π弧度时,有   ,

平台转过弧度时,有.  ( 其中n = 0,1,2,3 …… )

因此, 上式即为平台角速度应满足的条件.

7．如图1-77所示, 一光滑的1/4圆弧轨道AB位于竖直平面内, 其半径为R₀. 一个质量为m的小物块从A点无初速度地沿轨道滑下, 在弧形轨道的最低点B处与质量为M的物体相碰,碰后两者粘在一起, 沿水平方向运动到C点停止. 如果两个物体与水平面间的动摩擦因数为μ. 求:

(1) 小物块m滑到弧形轨道最低点还没有与物体M碰撞前的速度大小;

(2) 两物体相碰后沿水平面滑行的最大距离.

【解答】

物体m从点A运动到点B,由机械能守恒,得 ，得,

物体m与物体M相碰过程由动量守恒定律得,    得

在物体m与物体M滑行过程中,由动能定理,得   ,

解得   .

8．一平直长木板A的质量M = 2kg, 其左端放置一质量m = 0.5kg的小木块B. 开始时它们相对静止, 在光滑水平面上以v₁=2m/s的速度向左运动, 如图1-78所示. 某一时刻, 一质量

m₀ = 0.01kg的子弹C以v₀ = 800 m/s的速度水平打进木块, 并以大小为 m/s的速度穿出木块. 设子弹穿过木块的时间忽略不计, 随后木块相对木板向右滑动, 如果木块与木板间的动摩擦因数μ= 0.5, g取10m/s². 要使木块不滑出木板, 木板至少需多长?

【解答】

子弹穿过木块过程, 有, 得m/s.

木块不滑出木板, 则最后两者速度相同, 设为.因为,所以方向向左,

有,   得m/s.

子弹穿出木块后, 木块相对地面向右运动, 最后相对地面向左运动, 则木块必有一相对地面速度为零

的时刻, 而木板则自始至终一直向左运动.

木块从向右运动到速度为零, 位移为,  得 m,

木块从速度为零到相对木板静止, 位移为,  得 m,

木板在此过程的位移为, 则,   得 m,

要使木块不滑出木板, 木板的最小长度为m.

注: 子弹穿出木块后, 可对木块和木板组成的系统使用动能定理, 得

,

得木板的最小长度为m.

9．在纳米技术中需要移动或修补原子, 必须使在不停地做热运动 (速率约几百米每秒) 的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间, 为此已发明了“激光制冷”的技术, 若把原子和入射光分别类比为一辆小车和一个小球, 则“激光制冷”与下述的力学模型很类似：

一辆质量为m的小车 (一侧固定一轻弹簧), 如图1-79所示以速度v₀水平向右运动,一个动量大小为P, 质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短, 接着被锁定一段时间ΔT, 再解除锁定使小球以大小相同的动量P水平向右弹出, 紧接着不断重复上述过程, 最终小车将停下来. 设地面和车厢均为光滑, 除锁定时间ΔT外, 不计小球在小车上运动和弹 簧压缩、伸长的时间. 求:

(1) 小球第一次入射后再弹出时, 小车的速度的大小和这一过程中小车动能的减少量;

(2) 从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间.　

【解答】

(1)小球射入小车和从小车中弹出的过程中,小球和小车所组成的系统动量守恒.

由动量守恒定律,得,  ,   则　.

此过程中小车动能减少量为,  .

(2) 小球第二次入射和弹出的过程, 及以后重复进行的过程中, 小球和小车所组成的系统动量守恒. 由动量守恒定律, 得     ,  , 

 则　,       同理可推得　.

要使小车停下来,即,小球重复入射和弹出的次数为,

故小车从开始运动到停下来所经历时间为  .

10．如图3-72甲所示, MN为一竖直放置的荧光屏, O点为它的中点, OO′与荧光屏垂直, 且长度为L, 在MN的左侧空间存在着一宽度也为L、方向垂直纸面向里的匀强电场, 场强大小为E. 图乙是从右边观察荧光屏得到的平面图, 在荧光屏上以O点为原点建立如图乙所示的直角坐标系. 一细束质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以相同的初速度v₀从O′点沿

方向射入电场区域. 粒子的重力和粒子间的相互作用都忽略不计.

(1) 若再在MN左侧空间加一个宽度也为L的匀强磁场, 使得荧光屏上的亮点恰好位于原点O处, 求这个磁场的磁感应强度B的大小和方向;

(2) 如果磁场的磁感应强度B的大小保持不变, 但把磁场的方向变为与电场方向相同, 则荧光屏上的亮点位于图乙中的A点, 已知A点的纵坐标y =33L, 求A点横坐标的数值(最后结果用L和其他常数表示).

【解答】

(1) 粒子若沿直线前进, 应加一竖直向上的匀强磁场. 则,即.

如果加一个垂直纸面向里、大小为的匀强磁场, 粒子在垂直于磁场的平面内的分运动是匀速圆周运动边(见右图), 在荧光屏上有,又 ,  

 有,

R为圆的半径, 圆弧所对的圆心角,

粒子在电场方向上做匀加速运动, 加速度,

粒子在磁场中运动时间,

粒子在电场中的横向位移, 即x方向上的位移为.

由,   得　.      化简为　　.

11．如图3-73甲所示, 在坐标xOy平面的第1象限内有一匀强磁场, 磁感应强度大小恒为B,方向垂直于xOy平面, 且随时间做周期性变化, 如图3-73乙所示, 规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正. 一个质量为m、带正电量为q的粒子, 在t=0时刻从坐标原点O以初速度v₀沿x轴的正方向射入, 在匀强磁场中运动, 重力不计, 经过一个磁场变化周期的时间, 粒子到达第1象限内的某一点P, 粒子的速度方向恰好沿x轴的正方向.

(1)  若点O、P连线与x轴之间的夹角为45°, 则磁场变化的周期T是多少?  

(2)  因P点的位置会随着磁场周期的变化而变动, 那么, 在磁场变化的一个周期内试求P点的纵坐标的最大值是多少? 此时磁场变化的周期是多大?

【解答】

(1)  带正电粒子在磁场中运动的周期为T₁、半径为R,

则  ,即　,     则     .

粒子在磁场变化的一个周期T内运动到P点, 因P点速度方向指向x轴正方向, 且OP与x轴成45°角, 所以粒子在时间T₂内运动的轨迹应为1/4圆弧 (如图甲所示), 对应运动的时间为

,   即　,

得　.

(2)  由于磁场的周期T是变化的, 而粒子做圆周运动的周期T₁不变,  P会随T变化而变动,  P点的纵坐标是由两个T/2对应的两段圆弧确定, 要使P点的纵坐标有最大值, 且P点方向与x轴正方向相同, 粒子的运动轨迹应如图乙所示.

由几何关系知,  ,  ，

∠∠,     则  ∠∠.

即粒子在T/2时间内运动的圆弧轨迹对应的圆心角为 ,

其运动的时间为，     又　,则　.

P点纵坐标的最大值为

12．如图3-77所示A、B为水平放置的足够长的平行板, 板间距离为d =1.0×10^-2m, A板中央有一电子源P, 在纸面内能向各个方向发射速度在0～3.2×10⁷m/s范围内的电子, Q为P点正上方B板上的一点, 若垂直纸面加一匀强磁场, 磁感应强度B = 9.1×10^-3T, 已知电子的质量m = 9.1×10^-31kg, 电子电量e = 1.6×10^-19C, 不计电子的重力和电子间相互作用力, 且电子打到板上均被吸收, 并转移到大地. 求:

(1)  沿PQ方向射出的电子, 击中A、B两板上的范围.

(2)  若从P点发出的粒子能恰好击中Q点, 则电子的发射方向 (用图中θ角表示) 与电子速度的大小v之间应满足的关系及各自相应的取值范围.

【解答】

(1) 如图25甲所示, 沿PQ方向射出的电子最大轨迹半径由

      ,可得.

代入数据解得

该电子运动轨迹圆心在A板上H处、恰能击中B板M处. 随着电子速度的减小, 电子轨迹半径也逐渐减小. 击中B板的电子与Q点最远处相切于N点, 此时电子的轨迹半径为d, 并恰能落在A板上H处.所以电子能击中B板MN区域和A板PH区域.

在△MFH中, 有,

m,   

m,   m.

电子能击中B板Q点右侧与Q点相距2.68×10^-3m～1×10^-2m 的范围.

电子能击中A板P点右侧与P点相距0～2×10^-2m 的范围.

(2)  如图乙所示,

要使P点发出的电子能击中Q点, 则有,  

,     解得.

v取最大速度   3.2×10⁷  m/s时,

有,  ,

v取最小速度时有　，  m/s,

所以电子速度与θ之间应满足　 , 

且  θ∈ ,   v∈[ 8×10⁶ m/s,  3.2×10⁷ m/s].

13．如图所示，在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C与平行金属板M、N相通。两板间距离为d，两板与电动势为E的电源连接，一带电量为－q、质量为m的带电粒子（重力忽略不计），在C点正下方紧靠N板的A点，无初速经电场加速后从C点进入磁场，与圆筒发生两次碰撞后从C点射出。已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求：

⑴筒内磁场的磁感应强度大小；

⑵带电粒子从A点出发至第一次回到A点所经历的时间。

解：（1）．qE＝mv2  

粒子由C孔进入磁场，在磁场中做匀速圆周运动的速率为

v＝…

由      r＝  

 由几何关系有Rcot30°＝ r       得     B＝  

（2）粒子从A→C的加速度为     a＝qE／md

由 d＝at12／2，粒子从A→C的时间为       t1＝=d

粒子在磁场中运动的时间为 t2＝T／2＝πm／qB

将（1）求得的B值代入，

得         t2＝πR        求得     t＝2t1＋t2＝（2d +πR）

14、.如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为、b的速度为。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：（1）t时刻C的加速度值；

（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。

解：（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势     ①

回路中感应电流                                                    

以a为研究对象，根据牛顿第二定律                              

以C为研究对象，根据牛顿第二定律                            

联立以上各式解得                                 

（2）解法一：单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即

解法二：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机
        a棒的感应电动势为                                       ⑤
        闭合回路消耗的总电功率为                                  ⑥
        联立①②⑤⑥解得 

解法三：闭合回路消耗的热功率为 
        b棒的机械功率为 
       故闭合回路消耗的总电功率为 

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