(四)求曲线运动中的功率

当物体做曲线运动时，应用推导式求功率要注意角的意义，它是指力与速度间的夹角。

[例6] 一质量为的物体以初速度做平抛运动。则在第1.0s末重力的瞬时功率为多大？(取)

分析：在第末物体的竖直分速度为

由图2可知

所以重力在第末的瞬时功率为

图2

(三)求某个力的功率

功率是描述某个力做功快慢的物理量，既可能是某个力的功率，也可能是合力的功率。在计算中务必弄清要求哪个力的功率。

[例5] 一质量为的物体，在几个共点力的作用下静止在光滑的水平桌面上，现把其中一个水平方向的力F突然增大到3F，保持其他力不变，则在末该力的功率为(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D.

分析：由题意可知，题中要求的是3F这个力在末的瞬时功率。

对物体应用牛顿第二定律得

在末物体的速度为

由功率推导式得

所以选项B正确

(二)求平均功率

平均功率能粗略地描述力在某一段时间内做功的快慢程度。求平均功率有两条途径：其一，用定义式计算；其二，用推导式计算。

[例3] 跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他1分钟跳绳180次，假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率为多大？(取)

分析：运动员跳绳一次需时

运动员跳离地面的时间

则运动员上跳的时间

运动员跳绳上升的高度

则运动员跳绳一次需克服重力做功：

所以该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率为。

[例4] 在光滑水平面上静止着一个物体，现有一水平力F作用在该物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动。在物体的速度达到的过程中，力F的功率为多大？

分析：设物体的平均速度为，由运动学公式得，则力F在这段时间内的平均功率为。

(一)求瞬时功率

瞬时功率是指物体(或某个力)在某时刻的功率。瞬时功率一般用推导式求解，其中，是指该时刻力作用点的瞬时速度，是指力F与速度间的夹角。

[例1] 设汽车行驶时所受阻力与它的速率成正比，如果汽车以的速度匀速行驶时，发动机的功率为P。当汽车以的速率匀速行驶时，汽车发动机的功率为(　　 )

A. P　　 B. 2P　　 C. 3P　　 D. 4P

分析：这是一个变力做功的问题。由题意知汽车以速度匀速行驶时，汽车的牵引力为，此时汽车的功率为　 ①

当汽车以的速率匀速行驶时，汽车的牵引力变为，此时汽车的功率变为　 ②

结合①②两式可得

[例2] 如图1所示，用F=20N的力使重物G由静止开始，以0.2m/s²的加速度提升，则第5s末力F的功率为多大？

图1

分析：这是一个恒力做功的问题，在第5s末物体的速度为

此时力F的作用点A的瞬时速度为，所以在第5s末力F的功率为。

功率是中学物理中的一个重要概念，它描述某个物体(或某个力)做功快慢情况，功率的定义式为，该式既适用于恒力做功，也适用于变力做功。用此式求出的功率是指力在时间内的平均功率。功率的推导式为，此公式对恒力或变力做功的问题均适用。若F为恒力，为某时刻的速度，则P为恒力F在该时刻的瞬时功率；若F为恒力，为某段时间内的平均速度，则P为F在这段时间内的平均功率；若F为变力，为某时刻的速度，则P为变力F在该时刻的瞬时功率，下面以实例讨论求解功率的方法。

(三)动摩擦力做功与“速度有关”

原型：质量为的木块，与轨道间的摩擦因数为，试分别求出木块沿竖直圆轨道外侧滑到A点和沿圆轨道内侧滑到B点时受到的摩擦力大小(设圆轨道半径为R，滑到A点到B点的速度均为，且OA和OB与竖直方向的夹角均为)。

解析：当木块滑到圆轨道外侧A点时，受力分析如图4-甲所示，则有

，当木块滑到圆轨道内侧B点时，受力分析如图4-乙所示，则有。

图4-甲　　　　　 图4-乙

结论：① 物体滑到竖直圆轨道外侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越小；② 物体滑到竖直圆轨道内侧任一位置时，物体运行速度越大，所受摩擦力越大。

[例3] 如图5所示，A、B是一段粗糙程度相同的凸凹形曲面，且A与B在同一水平面上，已知完全相同的甲、乙两物块，甲以速度从A滑到B时速度变为，乙也以速度从B滑到A时速度变为，则与的关系是(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D. 无法判定

图5

解：由于摩擦，在外轨道上滑行时物块甲的速度大于乙速度，其上任一位置物块受到的摩擦力，即一定时速度小者摩擦力大，因此在外轨道上运行时乙受的摩擦力大于甲受的摩擦力。

在内轨道上滑行时物块乙的速度大于甲的速度，其上任一位置物块所受的摩擦力。即一定时速度大者摩擦力大，因此在内轨道上运行时仍是乙受的摩擦力大，所以在全程中乙所受摩擦力均大于甲所受的摩擦力。

无论甲从A滑到B还是乙从B滑到A，甲、乙两物块的重力的功均为零，而物块乙从B运行到A时，克服摩擦力做的功多，所以乙后来的速度小于甲后来的速度，从而选择答案B。

说明：在圆周运动中的动摩擦力做功之所以与速度有关是因为动摩擦力正比于正压力，而正压力又与向心力有关。

(二)动摩擦力做功与“路径无关”

原型：一个物体以一定的初速度沿水平面由A点滑到B点，物体克服摩擦力做功为；若该物体从沿两斜面滑到，物体克服摩擦力做的总功为，如图2所示，已知物体与各接触面间的动摩擦因数均相同，则(　　 )

A. 　　B. 　　C. 　　D. 无法确定

图2

错解：此题中分别给出两种不同情况下物体的运动，比较可得第2种情况下物体所受的摩擦力较小但运动路程又长，因此许多同学会主观地认为无法确定，而错选答案D。

正解：设物体与各接触面的动摩擦因数均为，物体重为G，水平面AB长(两斜面的水平距离)为。则从A到B过程中，物体克服摩擦力做的功为。

从沿两斜面滑到过程中(设最高点为C，且，)，物体克服摩擦力做的功为

由此可得：虽然物体经过的路径不同，但克服摩擦力做的功相同。因而正确答案为A。

结论：无论物体沿水平面还是斜面滑动，在无其它外力影响正压力且动摩擦因数相同的情况下，物体克服动摩擦做功与路径“无关”，其功为(为物体的水平位移)。

[例2] 如图3所示，DO是水平面，AB是斜面，初速为的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零。如果斜面改为AC，让该物体从D点出发滑动到A时速度也刚好为零，则物体具有的初速度(已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相等且不为零)(　　 )　

A. 大于　 B. 等于　　 C. 小于　　 D. 取决于斜面的倾角

图3

解：设斜面AB、AC与水平面间夹角分别为、。物体沿DBA滑动时，合力做功。同法可得当物体沿DCA滑动时，合力做功为，即两次合力做功相等，根据动能定理可得，两次物体动能变化也相等，因此当物体沿DCA滑到顶端速度为零时，物体具有的初速度也等于，从而得正确答案B。

说明：动摩擦力做功仍按功的计算公式求解，只是在此种条件下动摩擦力做功好像与“路径无关”，而等于(为物体的水平位移)罢了。

(一)动摩擦力做功与“路径有关”

原型：用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块与轨道间动摩擦因数为，物块质量为，求此过程中摩擦力所做的功。

图1

分析：物体在整个过程中摩擦力大小不变，而方向时刻改变，是变力，但若把圆周分成无数小微元段，则每一小段可认为摩擦力方向不变，每一小段可用恒力做功公式计算，然后各段求和便得。

解：把圆轨道分成、、……，摩擦力在每一段做功分别为、……，则摩擦力在一周内所做的功

。

结论：动摩擦力做功与路径有关，其计算公式为(为物体运动路程)。

[例1] 从离地面H高处落下一只小球，小球在运动中所受的空气阻力是它重力的倍，而小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，求小球从释放至停止所通过的总路程。

解析：小球与地面相碰后能以相同大小的速率反弹，说明小球与地面碰撞时无机械能损失。从小球自由释放到停止的全过程中重力做功为(重力做功与路径无关)。

空气阻力随时与速度方向相反，因而做的功为(为小球运行路程)

根据动能定理

得，即

得

说明：此题还可分段求解，最终利用数列求和，但利用全程求解更为简洁。

15. 某海湾共占面积，涨潮时水深，此时关上水坝闸门，可使水位保持不变，退潮时，坝外水位降至18m，假如利用此水坝建水电站，且重力势能转变为电能的效率是10%，每天有两次涨潮，问该电站一天能发出多少电能？g取(不考虑浮力作用)

14. 如图所示，跨过定滑轮的绳子一端与光滑水平面上质量为M的物体A相连，另一端与质量为的物体B相连，系统由静止开始运动，当A的速度为v时，牵引它的绳子与水平方向成角，不计滑轮与绳子的质量和摩擦，求此运动过程中物体B的重力做了多少功？