2.　　　　 若三个数成等比数列，则m=________．

一、填空题

1.　　　　 数列的一个通项公式为　　　 　　．

[答案]

试题分析：因为数列可看做因此该数列一个通项公式为.

23.　　 宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r>0）的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。

（1）求AC两点间的球面距离；

（2）求P点的经度；

（3）求AP两点间的球面距离。

解：设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’，

（1）那么OO’=。O’A=O’C=。又因为∠AO’C=60°。

所以AC=。那么∠AOC=（）

两点间的球面距离为（）

（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。

可知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90°或西经30°。

（3）显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90°。

由条件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延长BA与OO’交于D点，那么。而O’C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且。

可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。

22.　　 设（是正整数），利用赋值法解决下列问题：

　 （1）求；

　 （2）为偶数时，求；

　 （3）是3的倍数时，求。

解：令，

（1），所以

（2），

所以

（3）记，则。当时，，当时，，

记，，

，

，

　　　 则

从上到下各式分别乘以，求得

。即

21.　　 已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下列问题：

（1）在复数范围内分解因式：；

（2）求所有满足整除的正整数n构成的集合A。

解：（1）令解得两个根，这里

所以

（2）记。有两个根，这里，

20.　　 如图,已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。

（1）求证：直线AB₁∥平面C₁DB；

（2）求异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值。

　证明：（1）连BC交于E，连DE,　　 则DE∥，

而DE面CDB，面CDB，　 ∴

（2）由（1）知∠DEB为异面直线所成的角，在　　

。　　　　　　　　　　　　　　

三、解答题

19.　　 如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。

（1）求证：OB⊥AC；

（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

解：（1）连结OB，由圆的切线性质有OB⊥BC，而BC是AC在底面⊙O

上的射影，∴OB⊥平面ABC，∴OB⊥AC。

（2）在RtΔOA B中，AB＝．

又∵∠ACB就是AC与底面⊙O所成角，,

18.　　 除以100的余数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (C　　 )

　 　　A．1　　　　　　 B．79　　　　　 C． 21　　　　　 D． 81

　解：

=

=4

即除以100的余数为21。

17.　　 三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为　　　　　　 　 （ B　 ）

　　 A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

16.　　 　如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 （　A　）

A．　　 B．　　 C．　　 D．