4.已知：函数.（1）求函数的定义域;（2）判断函数的奇偶性;

（3）求证:﹥0.

[思路分析]（1）中求函数的定义域就是让分母不等于0，（2）可用定义判断，（3）可在（2）的基础上进行证明.

[解](1)

(2)设，

　　　　 =，　 为偶函数 .

(3)当x＜0时，＜＜1，-1＜＜0，　 ＜，

　 又x＜0,则＞0， 由为偶函数知，当x＞0时，＞0，

综上可知当＞0 .

3.已知，是二次函数，当时，的最小值为1，且为奇函数，求函数的表达式.　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

[思路分析]已知是二次函数，可先设出，然后根据条件用待定系数法求之.

[解]设则又为奇函数，　　 对称轴 .　　　　　　　　　　　　　　　

当，即时，在上为减函数，

∴的最小值为，又，∴此时无解.

当，即时，，

∵，此时　

当，即时，在上为增函数，∴的最小值为,

，又满足∴　

综上所述，或

2.定义在R上的函数，，当x>0时，，且对于任意的，有.（1）证明：；（2）证明：对任意的，恒有.

[思路分析]题目中函数的解析式不知道，只知，要求f(0), 可采用赋于a,b不同的值的方法来处理.又由于已知当x>0时，，可利用f(x)与f(-x)的关系来证明（2）.

[解]（1）在中，令a=b=0，得，因为，所以.

（2）由已知，当时，；由（1），当时，；

当时，，由已知，在中，

令，则，所以，

从而当时，.

综上所述，对任意的，恒有.

1.设是实数，定义在上的函数.

(1)若为奇函数，求的值；

（2）证明：对于任意实数，是增函数.

(3)当是奇函数时，若方程总有实数根，求实数的取值范围.

[思路分析]（1）已知函数为奇函数求字母值，可利用f(0)=0或定义,(2)是要证明函数的单调性，用定义证之即可，（3）要先求出，然后利用方程总有解来处理.

[解]（1）法一：∵为奇函数， ，又，．　 ∴，即，∴.

故当时，此时为奇函数

法二：利用定义域为且为奇函数，则有，易得.

(2)设,则

∵为增函数,且,,,

∴,即.　 故对任何实数,在上均为增函数.

(3)因为是R上的奇函数，所以

，

由得，

当且仅当时等号成立，

所以，的取值范围是

10.已知,函数.

(1)当时，求所有使成立的的值；

(2)当时，求函数在闭区间上的最小值；

(3)试讨论函数的图像与直线的交点个数.

[解] (1)， 所以或;

　　　 (2), (其示意图如右)

　　　　 1^O.当时，，这时，对称轴，所以函数在区间上递增，；

　　　　 2^O.当时，时函数；

　　　　 3^O. 当时，，这时，对称轴，

　　　　　　　 ，所以函数；

　　　 (3) 当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点；当时，函数的图像与直线有2个交点；当时，函数的图像与直线有3个交点.

解：(1)，设,则任取，，当时，单调递减；当时，单调递增.由得的值域为.

(2)设，则，所以单调递减.

(3) .

9.已知函数（为实常数）．

（1）若，作函数的大概图像；

（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

[解]（1）当时，．作图（如右所示）

（2）当时，．

1）若，则在区间上是减函数，．

2）若，则，图像的对称轴是直线．

①当时，在区间上是减函数，．

②当时，

当，即时，在区间上是增函数，．

当，即时，，

当，即时，在区间上是减函数，．

综上可得 ．

（3）当时，，在区间上任取，，且，

则

．

因为在区间上是增函数，所以，

因为，，所以，即，

当时，上面的不等式变为，即时结论成立．

当时，，由得，，解得，

当时，，由得，，解得，

所以，实数的取值范围为．

8. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数，对于任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

7.在函数（）的图像上有一点，此函数与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( B　 )　

6.偶函数在区间上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，则方程在区间内根的个数是( B　 )

A．1　　　　　 B．2 　　　　　　C．3　　　　　　 　　D．0

5.设二次函数, 若，则的值为 (A　 )

A 正数 　 B 负数　 　C 非负数　　 　 D 正数、负数和零都有可能