∴ （分组、裂项求和）

                   （裂项）

                    （设制分组）

解：∵ （找通项及特征）

109. (2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知数列：，求的值。

即　　S_n²－2S_n＋1－a_nS_n＝0．

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，代入上式得

S_n－1S_n－2S_n＋1＝0　　　①

由(Ⅰ)知S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝．

由①可得S₃＝．

由此猜想S_n＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　

下面用数学归纳法证明这个结论．

(i)n＝1时已知结论成立．

(ii)假设n＝k时结论成立，即S_k＝，

当n＝k＋1时，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，

故n＝k＋1时结论也成立．

综上，由(i)、(ii)可知S_n＝对所有正整数n都成立．　　

于是当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－＝，

又n＝1时，a₁＝＝，所以

｛a_n｝的通项公式a_n＝，n＝1，2，3，…．

108. (2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1，2，3，…．

（Ⅰ）求a₁，a₂；

（Ⅱ）｛a_n｝的通项公式。

解：(Ⅰ)当n＝1时，x²－a₁x－a₁＝0有一根为S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝．

当n＝2时，x²－a₂x－a₂＝0有一根为S₂－1＝a₂－，

于是(a₂－)²－a₂(a₂－)－a₂＝0，解得a₁＝．

(Ⅱ)由题设(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

    所以