2．给出递推关系求通项，有时可以用归纳，猜想，证明的思路；而证明型的问题用数学归纳法往往是一种比较简单的方法；而给出铺垫(转化后的数列)的问题常常可以用证明(变换，待定系数法等)处理，一般难度不大。

例7：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。

解：∵ 　　 ∴ 令 则辅助数列 是公比为2的等比数列

∴ 即 　 ∴

例5.　　　　　 在数列 中， ， ， ，求 。

解析：在 两边减去 ，得

∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，∴ ，由累加法得

= 　= … = = =

例8： 已知数列{ }中 且 ( )_，，求数列的通项公式。

解：∵ ∴ ，　 设 ，则

故{ }是以 为首项，1为公差的等差数列 ∴ 　　　　 ∴

点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

趣谈数列的通项问题及其思维方式

1．递推关系的形成：直接给出，函数给出，解析几何给出，应用问题给出，方程给出。

　例6：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c₁=2，c₂=4，c₃=7，c₄=12，求通项公式c_n

解：设 　

例6. 已知数列 中， ， ，

其中b是与n无关的常数，且 。求出用n和b表示的a_n的关系式。

解析：递推公式一定可表示为

的形式。由待定系数法知： 　

　 故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， (b、c为常数)，若数列 为等比数列，则 ， 。

例5：已知下列两数列 的前n项和s_n的公式，求 的通项公式。(1) 。 (2)

解： (1) = = =3

此时， 。∴ =3 为所求数列的通项公式。

(2) ，当 时

　由于 不适合于此等式 。　 ∴

点评：要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例4：在数列{ }中， =1,　 (n+1)· =n· ，求 的表达式。

解：由(n+1)· =n· 得 ， = _{· ·} … = 　　 所以

例4. 已知数列 中， ，前 项和 与 的关系是 　，试求通项公式 。

解析：首先由 易求的递推公式：

将上面n—1个等式相乘得：

点评：一般地，对于型如 = (n)· 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜采用此方法。

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解　 易知 ∵ 　 ……

各式相加得 ∴

点评：一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜采用此方法求解。

例4. 　若在数列 中， ， ，求通项 。

解析：由 得 ，所以 ， ，…， ，

将以上各式相加得： ，又 所以 =

例2： 已知数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)²，且a₁ = f (d－1)，a₃ = f (d+1)，b₁ = f (q+1)，b₃ = f (q－1)，(1)求数列{ a _n }和{ b _n }的通项公式；

解：(1)∵a ₁=f (d－1) = (d－2)²，a ₃ = f (d+1)= d ²，∴a₃－a₁=d²－(d－2)²=2d=4，

∴d=2，∴a_n=a₁+(n－1)d = 2(n－1)；又b₁= f (q+1)= q²，b₃ =f (q－1)=(q－2)²，

∴ =q²，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴b_n=b·q^n－1=4·(－2)^n－1

例1.　 等差数列 是递减数列，且 =48， =12，则数列的通项公式是(　　 )

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析：设等差数列的公差位d，由已知 ，

解得 ，又 是递减数列，　 ∴ ， ，∴ ，故选(D)。

例2.　 已知等比数列 的首项 ，公比 ，设数列 的通项为 ，求数列 的通项公式。

解析：由题意， ，又 是等比数列，公比为

∴ ，故数列 是等比数列， ，∴

点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

(1)9，99，999，9999，…(2) (3) (4)

解：(1)变形为：10¹－1，10²-1，10³-1，10⁴-1，…… ∴通项公式为：

　　 (2) 　 (3) 　 　(4) .点评：关键是找出各项与项数n的关系。

21.设函数有两个极值点，且

(I)求的取值范围，并讨论的单调性；

(II)证明： 　　　　　

解: (I)

　 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

(II)由(I)，

设，

则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。

故．　 　　　　　　

20. 等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的　 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. 　 　

(1)求r的值；　　　

(11)当b=2时，记　 　　求数列的前项和

解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,

当时,, 　 　

当时,,

又因为{}为等比数列,　 所以,　 公比为,　　 所以

(2)当b=2时，,　　

则

相减,得

所以