若数列 满足关系 ，由这个递推关系及初始值确定的数列，也是递推数列。它主要给出的是“二层”与“三层”之间的递推关系式，解决途径是利用 转化为纯粹的“二层”或“三层”问题，即 型或 型(也就是将混合型的转化为纯粹型的)

例题7：已知数列 的前n项和S_n满足

(Ⅰ)写出数列 的前3项；　 　(Ⅱ)求数列 的通项公式。

解析：(Ⅰ) ---------------①

由 得 ----------------②

由 得 ，得 --------------③

由 得 ，得 ---------④

(Ⅱ)∵ ---------------①

∴用 代 得 -----------⑤

由①－⑤得：

即 ----------------------------⑥

由叠代法得

---------------------------⑦

例题8：数列 的前n项和记为S_n，已知

证明：数列 是等比数列；(2004全国卷(二)理科19题)

方法(1)∵

∴ 　　整理得　

所以　 ，　　 故 是以2为公比的等比数列.

方法(2)：事实上，我们也可以转化为 ，为一个商型的递推关系，

由 =

得 ， 下面易求证。

当然，还有一些转化的方法和技巧，如基本式的变换，象因式分解，取倒数等还是要求掌握的。

可利用公式： 　 直接求出通项 。

例题6：已知数列 的前n项和为① 　 ② ， 分别求数列 的通项公式。

解析：①当 时，

　　　　 当 时，

　　　　 经检验 时 　也适合　 ∴

　　　 ②当 时，

　　　　 当 时，

经检验 时 　不适合　 ∴ 　

若数列 满足关系 ，由这个关系式及初始值确定的数列，也可理解为递推数列。它主要给出的是“三层”中连续几项之间的递推关系式，解决途径是利用 将“三层”问题全部走下“二层”，回到 型或直接能求出 ，以下过程依同上述。

例题5：已知数列 的首项 ，前n项和 满足关系式 (t为常数且 )

(1)求证：数列 是等比数列； (2)设数列 的公比为 ，作数列 ，使 ， ，求

解析：(1)由 ， ，得 ,

∴ ，又 ，

得 ，得

∴ 是一个首项为1，公比为 的等比数列。

(2)由 ，有

∴ 是一个首项为1，公差为 的等差数列，∴ 。

类比例题：已知数列 满足 ，求 的通项公式。

解析：记

∴

∴ 　　　 ∴ 。

(四)数学归纳法：

例题4：已知数列 中， ，求通项公式

解析：利用归纳、猜想、数学归纳法证明方法也可求得通项公式 。

　 即　

　　　 …

再利用数学归纳方法证明最后的结论：

①当 时， 显然成立；

②假设当 时， 成立，

由题设知 　

即当 时， 成立

根据①②，当 时 ，然后利用等比数列求和公式来化简这个通项 。

(三)可以一次变形后转化为“差型”、“商型”。如： 、 、 等类型。

例题3：设 是常数，且 ，

证明： (2003年新课程理科，22题)

分析：这道题目是证明型的，最简单的方法当然要数数学归纳法，现在我们考虑用推导的方法来处理 的三种方法：

方法(1)：构造公比为－2的等比数列 ，用待定系数法可知

方法(2)：构造差型数列 ，即两边同时除以 　得： ，从而可以用累加的方法处理。

方法(3)：直接用叠代的方法处理：

说明：①当 时，上述三种方法都可以用；②当 时，若用方法1，构造的等比数列应该是 　而用其它两种方法做则都比较难；③用叠代法关键是找出规律，除含 外的其它式子，常常是一个等比数列的求和问题。

(二)由“差型”、“商型”类比出“和型”、“积型”：即

例题2：数列 中相邻两项 、 是方程 的两根，已知

求 的值。

分析：由题意： + -----① ，　 生成： + -----②

由②－①得：

所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差。其基本思路是：生成、相减；与“差型”的生成、相加的思路刚好相呼应。到这里本题的解决就不在话下了。

特例：若 + ，则 ，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。

若 ------① ，　　 则 -------②

由②÷①得：

所以该数列的所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比。其基本思路是：生成、相除；与“商型”的生成、相乘的思路刚好相呼应。

特例：若 ，则 ，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等。

(一)由等差、等比演化而来的“差型”、“商型”递推关系

(1)由等差数列演化为“差型”，如：

生成： ， ，…， ，

累加： = ，于是只要 可以求和就行。

(2)由等比数列演化为“商型”，如：

生成： ， ，…， ，

累乘： ，于是只要 可以求积就行。

例题1：已知数列 满足：

求证：① 　 ② 是偶数　　 (《数学通讯》2004年17期P44)

证明：由已知可得：

又 =

而 =

所以 ，而 为偶数

若数列 的连续若干项之间满足关系 ，由这个递推关系及n个初始值确定的数列，叫做递推数列。它主要给出的是“二层”中连续几项之间的递推关系式(如： 、 　、 、 、 、 、 、 、 、 等类型)，这是数列的重点、难点问题。求递推数列通项的方法较多，也比较灵活，基本方法如：迭加法、迭乘法、转化为等差、等比数列求通项法、归纳——猜想——证明法等，其中主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。

4．给定初始条件和递推关系，有时不一定能求出通项，却也可以研究它的其他性质。(如取值范围，比较大小，其他等价关系等，无非等与不等两类)，这类问题往往有一定的难度。

本文主要采用风趣的“楼层式”讲解，更易于理解数列中求通项的问题。将 喻为楼的第一层， 喻为楼的第二层， 喻为楼的第三层，则数列中 之间的关系式可理解为这三层之间的走动关系，那么我们可以用爬楼层的方式理解 之间的相互转化关系-----我亲切地称它为“楼层式”的转化方式。

3．给定初始条件和递推关系往往可以用演绎(推导)的方法求出它的通项公式，其最主要的思想方法是生成、转化、叠代。