7.设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：

(1)a＞0且-2＜＜-1；

(2)方程f(x)=0在(0，1)内有两个实根.

6. 已知在二次函数的解析式中，＝－3，＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.

5.已知函数对一切实数都有成立，且方程=0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是　　　　　　 　.

4.已知函数的图像如图所示，则b的取值范围是(　)

A.(-∞,0)　　 B.(0,1)　　　 C.(1,2)　　　 D.(2,+∞)

3.若关于的方程在(0,1)内恰有一解，则的取值范围为(　)

A. ＜－1　　　B. ＞1　C. －1＜＜1　　D.0＜＜1

2.已知抛物线与轴的两个交点在(1,0)两旁，则关于的方程的根的情况是(　)

a.有两个正数根　　　　　　　 　　 　B.有两个负数根

C.有一个正数根和一个负数根　　　D.无实数根

1. 方程的实根的个数是(　)

A. 0　　　 B. 1　 　　　C. 2　　　　 D. 3.

[例1]已知函数若时，≥0恒成立，求的取值范围.

错解：(一)恒成立，∴△＝≤0恒成立

　解得的取值范围为

错解：(二)∵若时，≥0恒成立

∴即

解得的取值范围为

错因：对二次函数＝当上≥0恒成立时，△≤0

片面理解为，≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为

这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.

正解：设的最小值为

(1)当即＞4时，＝＝7－3≥0，得故此时不存在；

(2) 当即－4≤≤4时，＝3－－≥0，得－6≤≤2

又－4≤≤4，故－4≤≤2；

(3)即＜－4时，＝＝7+≥0，得≥－7，又＜－4

故－7≤＜－4

综上，得－7≤≤2

[例2]已知有且只有一根在区间(0,1)内，求的取值范围.

错解：设∵有且只有一根在区间(0,1)内

∴得＜－2

错因：对于一般，若，那么，函数在区间(a,b)上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间(a,b)上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.

　　但方程＝0在区间(a,b)上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.

由图可知＝0在区间(a,b)上有且只有一根，但是

正解：设，(1)当＝0时方程的根为－1，不满足条件.

(2)当≠0∵有且只有一根在区间(0,1)内

又＝1＞0　

　∴有两种可能情形①得＜－2

或者②得不存在

综上所得，＜－2

[例3]已知一次函数与二次函数图像如图，其中

的交点与轴、轴的交点分别为A(2，0)，B(0，2)；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.(1)求这两个函数的解析式.(2)解方程：

(1)错解：把 A(2，0)，B(0，2)两点坐标分别代入一次函数解得

∴一次函数为　

设P(₁，₁)，Q(，₂)，则

₁︰₂＝1︰4

∴︰＝1︰4　∴₁︰₂＝1︰2或₁︰₂＝(－1)︰2

当₁︰₂＝1︰2时，Q点坐标为(2₁，4₁)，把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　解得

∴P(3，－1)，Q(6，－4)，抛物线方程为

当₁︰₂＝(－1)︰2时， Q点坐标为(－2₁，4₁)把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得　　解得

∴P(1， 1)，Q(－2， 4)，抛物线方程为

错因：在得到₁︰₂值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.

正解：(1)抛物线方程为

(2)方法一：由(1)得方程　即为　

解得₁＝－2，₂＝1.

　方法二：方程的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由(1)知它们交点的坐标分别为P(1， 1)，Q(－2， 4)，　

∴方程的解为₁＝－2，₂＝1.

[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程

²+(2k－3)－(3k－1)＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.

错解：令那么由条件得到

即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

错因：方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间(0,2)内.

正解：令那么由条件得到

即即此不等式无解

即不存在满足条件的k值.

[例5]已知二次函数对于₁、₂R，且₁＜₂时

，求证：方程＝有不等实根，且必有一根属于区间(₁，₂).

解：设F()＝－，　

则方程　　＝　　　①

与方程　　F()＝0　　　　　　②　等价

∵F(₁)＝－＝

F(₂)＝－＝

∴　F(₁)·F(₂)＝－，又

∴F(₁)·F(₂)＜0

故方程②必有一根在区间(₁，₂)内.由于抛物线y＝F()在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间(₁，₂).

点评：本题由于方程是＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明的图像与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F()＝－的图像与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.

[例6]试确定方程最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.

分析：只要构造函数＝，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.

解：令＝

∵＝－54－9+12+2＝－49＜0　

＝－16－4+8+2＝－10＜0

＝－2－1+4+2＝3＞0

＝0－0－0+2＝2＞0

＝2－1－4+2＝－1＜0

＝16－4－8+2＝6＞0

根据·＜0，·＜0，·＜0

可知的零点分别在区间(－2，－1)，(0,1)，(1,2)内.

因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间(－2，－1)内.

点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

所以＝0有三个根：

[例7]设二次函数方程的两个根，满足0.

(1)当时，证明；

(2)设函数的图像关于直线对称，证明：

.

分析：(1)用作差比较法证明不等式；

(2)函数图像关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即，然后用已知条件证明不等式即可.

证明：(1)依题意，设

当时，由于，∴，又

∴>0即

∵0.∴

∴

综合得

(2)依题意知，又

∴

∵∴

点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即

[例8] 已知函数，且方程有实根.

　(1)求证：-3<c≤-1,b≥0.

(2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明

分析：(1)题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.

及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；(2)本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.

(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，

1

解得，

又由于方程有实根，即有实根，

故即解得或

∴，由，得≥0.

(2)=

∵，∴c<m<1(如图)

∴c-4<m-4<-3<c.

∴的符号为正.

点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题.

4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是

(1)取一个区间()使

(2)取区间的中点，

(3)计算，①若，则就是的解，计算终止；②若，则解位于区间()中，令；若则解位于区间()令

(4)取区间是()的中点，重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间()内

(5)当精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.

3. 二次方程的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间时

应满足：