7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚，已知各观测点到中心的距离都是，试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为；相关各点均在同一平面上)

6．如图， 7．设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量 ，，求点的轨迹C的方程．

5．已知椭圆的两个焦点分别是F₁、F₂，△MF₁F₂的重心G恰为椭圆上的点，则点的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　 ．

4．自椭圆上的任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为　　　　　　　　

3．已知抛物线的顶点为，那么当变化时，此抛物线焦点的轨迹方程是___________________________．

2．已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点的轨迹方程　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

1．抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是　　　　　　 (　 )

(三)参数法：设动弦的方程为，由　 得：

，设，的中点为，则：

，　 消去得

例2．求过点，离心率为，且以轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．

解：设椭圆下方的焦点，椭圆的下方的顶点为

由定义，∴，即点的轨迹方程是，

又，∴点的轨迹方程为.

例3．设椭圆方程为，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

　(1)动点P的轨迹方程；

　(2)的最小值与最大值.

　(1)解法一：直线l过点M(0，1)设其斜率为k，则l的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

　　　　　　　　 的解.

将①代入②并化简得，，所以

于是

设点P的坐标为则

消去参数k得　　 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方程为

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

　 ④　　　　　 　　⑤

④-⑤得，所以

当时，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦

将⑦代入⑥并整理得 　　⑧

当时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0，0)

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

(二)定义法：∵，动点在以为圆心，为直径的圆上，

∴所求点的轨迹方程为

例1．动圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．

解：(一)直接法：设为过的任一条弦是其中点，则，则　 ∴ ，即