19. (本小题满分14分)

解：(Ⅰ)易知M的轨迹是椭圆，，方程为． -------3分

(Ⅱ)①当斜率存在时，设，由，消去整理得；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -------5分

设，则有………………①　　　 -------6分

以为直径的圆的方程为，即

；…………②　　　　 -------7分

由①得，……③

；……④　 -------8分

将①③④代入②化简得，

即．　　　　　　　 -------10分

对任意的，圆心到直线的距离是，，即，所以圆于直线相离．　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　-------12分

　　 当斜率不存在时，易得半径为，圆的方程是，与直线也相离．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -------14分

18. (本小题满分13分)

解：(Ⅰ)连、，则；　　　　　　　　

　 ∵，则，∴．

　 而，∴．　　　　　　　 -----------------------------4分

(Ⅱ) 设是与的交点，、，则，

=

．　　　　　　　　　　　　　　　　 -------------------8分

∵令，则，

∴当即时，取得最小值．　　　　　　 -------------------11分

此时，，由余弦定理有∠．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 -------------------13分

17. (本小题满分12分)

解：(Ⅰ)由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，

知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ．

，．…………4分

(Ⅱ)的可能取值为元，元，元．

，，

．

的分布列为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………10分　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (元)．……………………12分

16. (本小题满分13分)

解：假设经过小时在N处追上海盗船．在中，=5，=20，=30，

∠=．-----------------------------4分

由余弦定理有 ，---7分

　 　化简得　 ，解之得＞0，∴快艇能追上海盗船． --------10分

　 由正弦定理有

　 ，∴．----------13分

(二)选做题(13-15题，考生只能从中选做两题)

13. ．解析：曲线C是圆，即，圆心是，所以，又，所以．

14.．解析：∵＜＜1，∴＜＜3，＜且＜3．由＞1或 ＜有＞1或＜；由＜3有-3＜＜+3；而＜1的解，∴．

15. 110°．解析：∵，，从而，∴．

(一)必做题(9-12题)

9．．解析：如图，表示直线及其下方区域， 表示圆及内部，要使，则直线在圆的下方， 即＜，故.

10．．解析：依题意知，当时，＞0；此时若，则．

11．或．解析：若﹥0，则函数图象对称轴是，最大值是，；若＜0，最大值是，．

12．4，．解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；个圆周已把平面分成片，再放入第个圆周，为使得到尽可能多的片，第个应与前面个都相交且交点均不同，有条公共弦，其端点把第个圆周分成段，每段都把已知的某一片划分成2片，即()，所以，而，从而．

8．C．解析：设，则；令，，则．是关于的二次函数，其图象关于直线对称；但是关于的增函数，而，从而﹥0，所以是关于的的增函数，于是时，．

第Ⅱ卷 　非选择题 (共110分)

7．D．解析：设|PF₁|=m, |PF₂|=n，不妨设P在第一象限，则由已知得 5a²-6ac+c²=0e²-6e+5=0，解得e=5或e=1(舍去)，选D．

6． A．解析：设购买铅笔只，购买圆珠笔只，则满足，则为支出的钱数，易知，答案是A．

5．D．解析：，最小正周期是，在是增函数．