1．( 2006年湖南)“”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的(　 A　 )

A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件　 C.充要条件　　　 D.既不充分也不必要条件

3. 如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围.

[解析]二次函数在区间上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，于是，解之得，故，即.

能力训练

2.(2004广东)设函数，证明：当，且时，.

[证明]在上是减函数，在上是增函数.由且，得且，即，.

[题型3] 函数的值域或最值

[例3](2006江苏)设a为实数，记函数的最大值为.

　　(1)设，求t的取值范围，并把表示为t的函数；

(2)求g(a)；

(3)试求满足的所有实数a.

[解析](1)∵，

∴要使有意义，必须且，即.

∵，且……①　　 ∴的取值范围是.

由①得：，∴，.

(2)由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

(1)当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

(2)当时，，，有=2；

(3)当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，.

综上所述，有=.

(3)当时，；

　　　 当时，，，∴，

，故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，。

综上所述，满足的所有实数a为：或.

[点评]本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

[变式与拓展]

1. 设函数，求证：当且仅当时，在内为单调函数；

[解析]，

①当时，∵，∴，

②当时，由，得；

　 由得；

　 ∴当时，在上为减函数，在上为增函数，

　 ∴当时，在 上不是单调函数.

　　　 综上，当且反当时，在上为单调函数.

[题型2] 利用单调性讨论参数的范围

[例2]已知函数)的图象与函数的图象关于点对称.

(1)求m的值；

(2)若在区间上为减函数，求实数a的取值范围.

[解析](1)设为函数图象上一点，点关于的对称点为，

则有，且.

∵点在上，

∴.

消去、代入，得，

整理，得，∴m=.

(2)∵，设、，且，

则对一切x₁、x₂∈(0，2］恒成立.

∴对一切、恒成立.

∴由，得．

[变式与拓展]

4.函数的最值：函数的最值是是函数值域中的特殊值，故求函数最值的方法与求值域的方法差不多，要考虑取“=”的条件是否满足.

典例剖析

[题型1]函数单调性的判断与证明

[例1]定义在上的函数，，当时，，且对任意的、，有.

(1)求证：；　　　 (2)求证：对任意的，恒有；

(3)求证：是上的增函数； (4)若，求x的取值范围.

[解析](1)证明：令，则，又，∴.

(2)证明：当时，，∴，

∴f(－x)=，又时，，

∴时，恒有.

(3)证明：设，则，

∴.

∵，∴，

又，∴，

∴，∴是上的增函数.

(4)解：由，，得，又是上的增函数，∴，∴.

[点评]解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是(3)中“”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.

[变式与拓展]

3.函数的单调区间：函数的单调区间可能是连续的，也可能是分散的，分散的单调区间中间用“，”分开，如的减区间，，不能写成.

2.导数法：给定区间上的函数，求其导数，对于，若，

则函数在上是增函数(或减函数.

5.函数单调性的应用：比较函数值的大小，求某些函数的值域，解证某些不等式，讨论根的分布等.

教材透析

1 判断函数单调性：

(1)定义法：给定区间上的函数，若对，且，都有

(或)则称函数在上是增函数(或减函数).

与定义等价的判断方法：，若

(或)，则称函数在上是增函数.

4.判断函数单调性的方法：定义法，导数法，图像法，特殊值法(主要用于解选择题或填空题).

3. 讨论复合函数单调性的根据：设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数.

(1)若是上的增函数，则与的增减性相同；

(2)若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.