3． (2008全国Ⅱ)函数的图像关于( C　 )

A．轴对称　 　　　 　　　　　　　B． 直线对称　

C． 坐标原点对称　　　　　　 　　 　D． 直线对称

2．下列函数中为奇函数的是　 (　 C　 )

A． 　　　　　　　　　　　　　B． 　　

　 C． 　　　　　　　　　D．

1．二次函数是偶函数，则函数的增区间为　 ( A　 )

A．　　 　　B．　　　 　C．　　　 D．

2.设为定义在上的偶函数，当时，的图象是经过点，斜率为的射线，又在的图象中有一部分是顶点在，且过点的一段抛物线.试写出函数的表达式，并作出其图象.

[解析]当时，设，则由，即，得；

当时，设，

则由，即，得；

当时，．

故f(x)＝.

[题型3] 函数的周期问题

[例3] 求下列函数的周期：

　　　 (1)　　　　　 (2)

　[解析](1)由得，，所以函数周期为

(2)由得，，所以函数的周期为．

[点评]这是一个抽象函数的周期问题，注意已知等式中变量的替换，再与周期的定义结合，就可以得出周期.

[变式与拓展]

已知偶函数是定义在上的周期函数，其最小正周期为4．

　　 (1)若，求的值；

　　 (2)若在上递增，则下列关系中正确的是(　　 )

A．　　　 　　　　　　B． 　　　

　 　　C． 　　　　　　　　　D．

[解析](1)∵4是函数的周期，∴也是函数的周期．

于是，．　

　(2)偶函数在在上递增，则在[2，4]上递减。由函数的最小正周期为4知，在[0，2]上递增。排除(B)，又，排除(D)．

∵，∴选(C)．

能力训练

1.判断下列函数的奇偶性

(1)

(2)

[解析](1)由，得，定义域关于原点对称，

又，所以是定义域上的奇函数.

(2)定义域为，关于原点对称，

又当时，，则时，，

∴，

又当时，，则时，，

∴，

故原函数为偶函数.

[题型2]函数奇偶性的应用

[例2]设，是R上的偶函数.

(1)求a的值；

(2)证明在上是增函数．

[解析](1)∵是上的偶函数，∴．

∴

不可能恒为“”，∴当时等式恒成立，∴a＝1．

(2)在上任取，

f(x₁)－f(x₂)＝

∵e＞1，∴0＜＞1，∴＞1，

∴，∴是在上的增函数．

[点评]本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．

[变式与拓展]

4．周期函数的定义：对于函数，如果存在一个不等于的常数，使得当取定义域内的任意值时都有，则是周期函数，是它的一个周期.对于一个周期函数，如果所有周期中存在一个最小的正的周期，就把这个周期叫做最小正周期.

教材透析

知识点1:奇偶函数的定义域关于原点对称，解题时要优先考虑；定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.

知识点2：函数奇偶性的判断方法：①定义域关于原点对称；②对于奇函数若定义域中有，则；③ 特值检验，然后再证明；④利用某些性质：在公共定义域内，偶函数与偶函数的和(或差或积或商)是偶函数，奇函数与奇函数的和(或差或积或商)是奇函数，(作商时，注意分母不能为)奇函数与偶函数的积与商为奇函数.

知识点3：函数奇偶性的应用①作函数图像；②求解析式；③奇偶性与单调性的联系：奇函数的对称区间上单调性相同，偶函数的对称区间上单调性相反；④利用奇偶性求值.

知识点4：若是函数的周期，则的整数倍也是函数的周期.

典例剖析

[题型1]判断函数的周期性

[例1](2002全国文)设函数，.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求函数的最小值.

[解析](1)，

由于，

故既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)f(x)=，

由于在上的最小值为，在内的最小值为，

故函数在内的最小值为.

[点评]因为奇偶函数问题要紧紧抓住“任取”“都有”这两个关键词. 与要同时有意义，f(x)与f(－x)要么相等，要么互为相反数，而要讨论非奇非偶只要说明不满足上述两点之一即可.另外，也可以借助分段函数的草图，帮助分析，然后用代数方法来回答.

[变式与拓展]

3.奇、偶函数的性质

(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).

(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.

(3)若奇函数的定义域包含数，则.

(4)奇函数的反函数也为奇函数.

(5)定义在(－∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

2.偶函数：对于函数.的定义域内任意一个，都有

(或)，则称为偶函数.

1.奇函数：对于函数的定义域内任意一个，都有

(或)，则称为奇函数.

12.(2006年上海春)设函数.

(1)在区间上画出函数的图像；

(2)设集合

，

　试判断集合和之间的关系，并给出证明；

(3)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方.

解：(1)如图所示：

(2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

　.

由于，∴ .

(3)[解法一] 当时， .

，

　　　 ，∴，又，

　　　 ①　 当，即时，取，

　　　 　.

　　　 ， 则 .

　　　 ②　 当，即时，取，　　 ＝.

　　 由 ①、②可知，当时，，.

　　 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

　　 [解法二] 当时， .

由 得，

　　 令 ，解得 或，

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.

如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

第三节　 函数的奇偶性和周期性

自主学习