2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数

[互动过程3]

请同学们探讨一下整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否适用?

结论:整数指数幂的运算性质对于有理指数幂同样适用,即有以下运算性质：

(1)．　　 (2)．　　 (3)．

其中为有理数．

例5．求值：(1)；(2)；(3)

解：(1)；

(2)；

(3)

例6．计算下列各式(式子中字母都是正数),并把结果化为只含正有理指数的形式：

(1)；(2)

解：(1)；

(2)

练习： 3,4

小结:

1．正整数指数幂→负分数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂

2．正分数指数幂:

一般地,给定正实数,对于任意给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作,它就是正分数指数幂．

例如：,则；,则等．

说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,即,例如：；

例1．把下列各式中的写成正分数指数幂的形式：

解：(1)；(2)；(3)

练习1：把下列各式中的写成正分数指数幂的形式：

(1)；(2)

例2：计算：(1)；(2)

解：(1)因为,所以=3；

(2)因为,所以=8

练习：计算(1)；(2)

[互动过程2]

请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂呢?

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定

;

说明:(1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有理指数．当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂或时,对底数应有所限制,即．

(3)对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在有理数集上的指数函数．

例3．把下列各式中的写为负分数指数幂的形式：

解：(1)；(2)；(3)

例4．计算：(1)；(2)

解：(1)因为,所以

(2)因为,所以．

练习: 1,2,

前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如,若已知,你能表示出吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为．

1．的次幂:

一般地,给定正实数,对于给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作．

例如：,则；,则．

由于,我们也可以记作

26．(12分)如图所示有一种自动夹具，两条铁臂能绕转轴O自由转动，它能夹紧重物将其提升起来。每条铁臂粗细、质量均匀，长为1.2m，重为200N。

(1)现该自动夹具夹起一个宽为0.8m、重为40N的重物时，一侧铁臂对重物的压力为多大？

(2)若铁臂对重物的静摩擦力最多为压力的0.5倍，则要吊起重为40N的重物，对重物宽度有何限制？

25、(14分)一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示。结合图像， 试求：

(1)运动员的质量；

(2)运动过程中，运动员最大加速度；

(3)不计空气阻力，运动过程中，运动员离开蹦床上升的最大高度

24、(12分)据报道，一儿童玩耍时不慎从36m高的阳台上无初速掉下，在他刚掉下时恰被楼下社区管理人员发现，该人员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童。已知管理人员到楼底的距离为18m，为确保能稳妥安全接住儿童，管理人员将尽力节约时间，但又必须保证接儿童时没有水平方向的冲击(即水平速度为零)。设儿童下落过程中所受空气阻力约为儿童本身重力的0.2倍，将儿童和管理人员都看作质点，g取10m/s²。

(1)管理人员至少用多大的平均速度跑到楼底？

(2)若管理人员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9m/s，求管理人员奔跑时加速度的大小需满足什么条件？

23．(12分)一物块在粗糙水平面上，受到的水平拉力F随时间t变化如图甲所示，速度v随时间t变化如图乙所示(g＝10m/s²)。求：

(1)1秒末物块所受摩擦力f的大小。

(2)物块的质量m。

(3)物块与水平面间的动摩擦因数m。

22．辨析题：(10分)如图所示，木块质量m＝0.78kg，在与水平方向成37°角、斜向右上方的恒定拉力F作用下，以a＝2.0m/s²的加速度从静止开始做匀加速直线运动，在3s末时撤去拉力F。已知木块与地面间的动摩擦因数m＝0.4，(sin37°＝0.60，cos37°＝0.80。)求：拉力F的大小以及物体在5s内滑行的总位移。

某同学是这样分析的：由牛顿第二定律可得Fcosq－mmg＝ma，可求出拉力F的大小。物体加速阶段滑行的时间t₁＝3s，位移s₁＝at₁²，末速度v₁＝at₁，减速阶段滑行的时间t₂＝2s，加速度a'＝mg，可求出位移s₂，则滑行的总位移s＝s₁+s₂。你认为这位同学的分析是否正确，若正确，请列式并完成计算；若不正确，请说明理由，并用你自己的方法算出正确的结果。

21、如下图甲所示是用手握住钢钳夹住一长方体工件时的情景。为了研究钢钳的平衡情况，可将钢钳抽象为两个杠杆模型，其中一个如图乙中实线所示，今在A点施加一个大小不变、方向始终垂直于AB的握力F，则在下列情况发生时，其中判断正确的是----------------------------(　　　 )

(A)将工件往右抽动时比往左抽动时容易

(B)将工件往左抽动时比往右抽动时容易

(C)向右抽动时，将工件横置(夹住部分较薄)容易抽动

(D)向右抽动时，将工件竖置(夹住部分较厚)容易抽动