35.　　 (石景山·理·题20)

已知函数．

⑴若，求曲线在点处的切线方程；

⑵若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

⑶设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

[解析]　　　　　　 ⑴当时，函数，．

，

曲线在点处的切线的斜率为．

从而曲线在点处的切线方程为，

即．

⑵．

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．

由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，

只需，即时，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是．

⑶∵在上是减函数，

∴时，；时，，即，

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．

当时，，因为，所以，，

此时，在内是减函数．

故当时，在上单调递减，不合题意；

②当时，由，

所以．

又由⑵知当时，在上是增函数，

∴，不合题意；

③当时，由⑵知在上是增函数，，

又在上是减函数，

故只需，，

而，，

即，解得，

所以实数的取值范围是．

34.　　 (石景山·文·题20)

已知函数，在点处的切线方程为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；

⑶若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

[解析]　　　　　　 ⑴∵，

根据题意，得即 解得 　

∴．

⑵令，即，解得．

						+
			极大值		极小值

∵，，

∴当时，，．

则对于区间上任意两个自变量的值，都有

，所以．

所以的最小值为．

⑶∵点不在曲线上，

∴设切点为．则．

∵，∴切线的斜率为．

则，即．

因为过点，可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解．

即函数有三个不同的零点．

则．

令，解得 或．

	+				+
		极大值		极小值

∴ 即 解得．

33.　　 (西城·文·题20)

已知函数，其中．

⑴若函数存在零点，求实数的取值范围；

⑵当时，求函数的单调区间，并确定此时是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴设有零点，即函数有零点，

所以，解得或；

⑵，

令得或，

因为，所以，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

此时，存在最小值．

的极小值为．

根据的单调性，在区间上的最小值为m，

解=0，得的零点为和，

结合可得在区间和上，．

因为，所以，

并且

，

即，

综上，在区间和上，，在区间上的最小值为，，

所以，当时存在最小值，最小值为．

32.　　 (西城·理·题19)

已知函数，其中．

⑴求函数的零点；

⑵讨论在区间上的单调性；

⑶在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

[解析]　　　　　　 ⑴令，得，所以函数的零点为．

⑵函数在区域上有意义，，

令得，

因为，所以，

当在定义域上变化时，的变化情况如下：

所以在区间上是增函数，

在区间上是减函数．

⑶在区间上存在最小值，

证明：由⑴知是函数的零点，

因为，

所以．

由知，当时，．

又函数在上是减函数，且．

所以函数在区间上的最小值为，且．

所以函数在区间上的最小值为．

计算得．

31.　　 (宣武·理·题18)

已知函数

⑴若为的极值点，求的值；

⑵若的图象在点处的切线方程为，

①求在区间上的最大值；

②求函数的单调区间．

[解析]　　　　　　 ⑴．

∵是极值点，∴，即．

∴或2．

⑵∵在上．∴

∵在上，∴

又，∴

∴，解得

∴；

①由可知和是的极值点．

∵

∴在区间上的最大值为8．

②，

令，得

当时，，此时在单调递减

当时：

				0
			+	0
		极小值		极大值

此时在上单调递减，在上单调递增．

当时：

		0
		0	+	0
		极小值		极大值

此时在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，在单调递减；

时，在单调递减，在单调递增；

时，在单调递减，在单调递增．

30.　　 (宣武·文·题18)

已知函数

⑴若为的极值点，求的值；

⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；

⑶当时，若在区间上不单调，求的取值范围．

[解析]　　　　　　 ⑴

∵是的极值点，

∴，即，解得或2．

⑵∵在上．∴

∵在上，∴

又，∴

∴，解得

∴

由可知和是的极值点．

∵

∴在区间上的最大值为8．　　　　　　　　　　　　　　

⑶因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点．

而的两根为，，区间长为，

∴在区间上不可能有2个零点．

所以，即．

∵，∴．

又∵，∴．

29.　　 (东城·理·题18)

已知函数，．

⑴若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

⑵求函数的单调区间；

⑶当，且时，证明：．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑴函数的定义域为，．

又曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，即．

⑵由于．

当时，对于，有在定义域上恒成立，

即在上是增函数．

当时，由，得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

⑶当时，，．

令．

．

当时，，在单调递减．

又，所以在恒为负．

所以当时，．

即．

故当，且时，成立．

28.　　 (东城·文·题18)

已知函数，

⑴若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

⑵求函数的单调区间和极值；

⑶当，且时，证明：．

[解析]　　　　　　 ⑴函数的定义域为，所以，

又曲线在点处的切线与直线平行，

所以，即．

⑵令得．

当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0
		极大值

由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是

所以在处取得极大值，．

⑶当时，，

由于，要证，只需证明，

令，则，

因为，所以，故在上单调递增，

当，，即成立．

故当时，有，即．

27.　　 (海淀·理·题18)

已知函数，其中为常数，且．

⑴当时，求在()上的值域；

⑵若对任意恒成立，求实数的取值范围．

[解析]　　　　　　 ⑴当时，，得

令，即，解得，所以函数在上为增函数，

据此，函数在上为增函数，而，，

所以函数在上的值域为．

⑵由，令，得，即，

当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

若，即，易得函数在上为增函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即．

而，

即，所以此时无解．

若，即，

易知函数在上为减函数，在上为增函数，

要使对恒成立，只需，即，

由和

得．

若，即，易得函数在上为减函数，

此时，，要使对恒成立，只需即可，

所以有，即，又因为，所以．

综合上述，实数的取值范围是．

26.　　 (海淀·文·题18)

已知函数与函数．

⑴若，的图象在点处有公共的切线，求实数的值；

⑵设，求函数的极值．

[解析]　　　　　　 ⑴因为，，

所以点同时在函数，的图象上

因为，，，，

由已知，得，所以，即

⑵因为(

所以

当时，因为，且所以对恒成立，

所以在上单调递增，无极值

当时，令，解得，(舍)

所以当时，，的变化情况如下表：

		0	+
		极小值

所以当时，取得极小值，且

．

综上，当时，函数在上无极值；

当时，函数在处取得极小值．