23．(上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科)(本题满分18分；第(1)小题5分，第(2)小题5分，第(3)小题8分)

设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

(1)若，求证：该数列是“封闭数列”；

(2)试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？

(3)设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.

23． (1)数列是“封闭数列”，因为：，---------------1分

对任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，则有-------------------------4分

(2)解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------5分

于是有为整数，又是正整数。-------------------------------6分

若则，所以，-----------------------7分

若，则，所以，------------------------8分

若，则，于是

，所以，------------------------------------------9分

综上所述，，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 10分

(3)结论：数列为“封闭数列”的充要条件是存在整数，使.----12分

证明：(必要性)任取等差数列的两项，若存在使，则

故存在，使，---------------------------------------------------------14分

下面证明。当时，显然成立。

对，若，则取，对不同的两项，存在使，

即，这与矛盾，

故存在整数，使。--------------------------------------------------------------------16分

(充分性)若存在整数使，则任取等差数列的两项，于是

由于为正整数，证毕.----------------------18分

23．(上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科)(本题满分18分；第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分)

设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.

(1)若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？

(2)设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；

(3)试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

22．(上海市松江区2010年4月高考模拟文科)(本题满分16分，其中第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分)

已知在数列中，数列的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列满足，数列的前项和为，

(1)写出数列的通项公式；

(2)求；

(3)证明：当时，．

解：(1) ；即 ；………4分

(2)，……………………………………………………………… 5分

，

，……………………………………7分

两式相减，得 ，

所以，；……………………………………………………10分

(3)，………………………………… 12分

当时，

，

…………………15分

所以，当时， ．……………………………………………16分

(用数学归纳法证明，同样给分)

22．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)(本题满分16分，其中第(1)小题4分，第(2)小题8分，第(3)小题4分)

设是两个数列，点为直角坐标平面上的点．对若三点共线，

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列{}满足：，其中是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列(1，在同一条直线上；

(3)记数列、{}的前项和分别为和，对任意自然数，是否总存在与相关的自然数，使得？若存在，求出与的关系，若不存在，请说明理由．

解：(1)因三点共线，　 …………2分

得故数列的通项公式为 　…………4分

(2)由题意 ，

由题意得 …………6分

当时，…………8分

.当n=1时，，也适合上式，

　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

因为两点的斜率为常数

所以点列(1，在同一条直线上. …………12分

(3)由　 得；

　 得…………14分

若，则

_[来源:]

　　 ∴

∴对任意自然数，当时，总有成立。…………16分

21. 解：(1)设电视广告播放量为每天次时，该产品的销售量为(，).

由题意，，

于是当时，，().

所以，该产品每天销售量(件)与电视广告播放量(次/天)的函数关系式为

.

(2)由题意，有.()

所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需4次.

22. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试文科)(本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分) 已知数列的首项为1，前项和为，且满足，．数列满足. (1) 求数列的通项公式； (2) 当时，试比较与的大小，并说明理由； (3) 试判断：当时，向量是否可能恰为直线的方向向量？请说明你的理由. 22.(文)解: (1) 由… (1) ， 得… (2)，由 (2)-(1) 得 ,　 整理得 ，. 所以，数列，，，…，，…是以4为公比的等比数列. 其中,, 　　 所以，.　 (2)由题意，. 当时， 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 所以，. (3)由题意，直线的方向向量为，假设向量恰为该直线的方向向量，则有 ， 当时，，，向量不符合条件； 当时，由 ， 而此时等式左边的不是一个整数，而等式右边的是一个整数，故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量. 解法二：同解法一，由假设可得， 当时， 由 …①， 不妨设，①即为

故等式不可能成立. 所以，对任意的，不可能是直线的方向向量.

21. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)(本题满分14分，其中第1小题8分，第2小题6分)

一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为件. 经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量(件)与电视广告每天的播放量(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现.

(1)试写出该产品每天的销售量(件)关于电视广告每天的播放量(次)的函数关系式；

(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加，则每天电视广告的播放量至少需多少次？

21、解：(1)，，，

。　　　　　　 …………………………………………………………4分

(2)由条件得，……………………………………………7分

。　　　 …………………………………………………………10分

(3)由(2)的结论，，即。………………12分

。

。　　　　　 …………………………………………………………14分

由(2)得。

。 …………………………………………………………16分

20. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分) 已知数列的首项为1，前项和为，且满足，．数列满足. (1) 求数列的通项公式； (2) 当时，试比较与的大小，并说明理由. 解: (1) 由… (1) ， 得… (2)，由 (2)-(1) 得 ,　 整理得 ，. 所以，数列，，，…，，…是以4为公比的等比数列. 其中,, 　　 所以，.　 (2)由题意，. 当时， 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 所以，. 又当时，，. 　故综上，当时，； 当时，.

21、(上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科)(本题满分16分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(2)小题6分)

设数列中，若，则称数列为“凸数列”。

(1)设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

(2)在“凸数列”中，求证：；

(3)设，若数列为“凸数列”，求数列前2010项和。

20、解：(1)，，，

。　　　　　 …………………………………………………………4分

(2)由条件得，，………………………6分

，即。………………………………………8分

(3)。

。　　　　 …………………………………………………………10分

由(2)得。………………………………12分

………………………………………14分