10．(2010年高考江苏卷试题16)(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90⁰。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。

(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。

因为PC平面PCD，故PC⊥BC。

(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由(1)知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。

(方法二)体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰。

从而AB=2，BC=1，得的面积。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。

由PC⊥BC，BC=1，得的面积。

由，，得，

故点A到平面PBC的距离等于。

9．(2010年高考四川卷理科18)(本小题满分12分)w_w w. k#s5_

已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.

(Ⅰ)求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；

(Ⅱ)求二面角M－BC'－B'的大小；

(Ⅲ)求三棱锥M－OBC的体积.

8. ( 2010年高考全国卷I理科19)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

(Ⅰ)证明：SE=2EB；

(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .

[命题意图]本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(19)　　 [解析]解法一：

　 　　(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,

　 由此知 即为直角三角形，故.

　　 又,

所以，.

作，

(Ⅱ) 由知

.

故为等腰三角形.

取中点F,连接,则.

连接，则.

所以，是二面角的平面角.

连接AG,AG=,,

,

所以，二面角的大小为120°.

解法二：

　以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，

由,得

　　 ，

故　　　　　　 .

令，则.

7．(2010年高考广东卷理科18)(本小题满分14分)

如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a ．

图5

　　 (1)证明：EB⊥FD；

(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．

[解析]

(2)设平面与平面RQD的交线为.

由BQ=FE,FR=FB知, .

而平面，∴平面，

而平面平面= ，

∴.

由(1)知，平面，∴平面，

而平面，平面，

∴，

∴是平面与平面所成二面角的平面角．

在中，，

，．

．

故平面与平面所成二面角的正弦值是．

6. (2010年高考安徽卷理科18)(本小题满分12分)

　　 如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。

　　 (Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小。

5. (2010年高考湖南卷理科18)(本小题满分12分)

如图5所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点。

(Ⅰ)求直线BE与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值；

(Ⅱ)在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F//平面A₁BE？证明你的结论。

[解析]

所以，取n.

设F是棱C₁D₁上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)，又B₁(1，0，1)，所以

n

这说明在在棱C₁D₁上是否存在一点F()，使B₁F//平面A₁BE

解法2 如图(a)所示，取AA₁的中点M，连结EM，BM，因为E是DD₁的中点，四边形ADD₁A₁为正方形，所以EM//AD。

又在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中。AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB₁A₁所成的角.

设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝，于是

在RT△BEM中，

4. (2010年高考数学湖北卷理科18)(本小题满分12分)

　 如图, 在四面体ABOC中，OC⊥OA, OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.

(Ⅰ) 设P为AC的中点.证明：在AB上存在一点Q,使PQ⊥OA,并计算=的值；

(Ⅱ) 求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 　

3. (2010年高考天津卷理科19) (本小题满分12分)

如图，在长方体中，分别是棱，上的点，，。

(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值：

(Ⅱ)证明⊥平面：(Ⅲ) 求二面角的正弦值。

[命题意图]本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。

[解析]方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，

点A为坐标原点，设,依题意得,

,,

(1)　　　 解：易得,

于是

　 所以异面直线与所成角的余弦值为

(2)　　　 证明：已知,,

于是·=0，·=0.因此，,,又

所以平面

(3)解：设平面的法向量，则,即

不妨令X=1,可得。由(2)可知，为平面的一个法向量。

于是，从而

所以二面角的正弦值为

方法二：(1)解：设AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=

链接B₁C,BC₁，设B₁C与BC₁交于点M,易知A₁D∥B₁C，由,可知EF∥BC₁.故是异面直线EF与A₁D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A₁D所成角的余弦值为

(2)证明：连接AC，设AC与DE交点N 因为，所以，从而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因为CC₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B₁C⊥平面ABF,从而AF⊥B₁C,所以AF⊥A₁D因为，所以AF⊥平面A₁ED

(3)解：连接A₁N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,故为二面角A₁-ED-F的平面角

易知，所以，又所以，在

连接A₁C₁,A₁F 在

。所以

所以二面角A₁-DE-F正弦值为。

2．(2010年高考福建卷理科18)(本小题满分13分)

如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。

(Ⅰ)证明：平面平面；

(Ⅱ)设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。

(i)当点C在圆周上运动时，求的最大值；

(ii)记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。

[命题意图]本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

[解析](Ⅰ)因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面。

(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为

=，又因为，

所以=，当且仅当时等号成立，

从而，而圆柱的体积，

故=当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是。

(ii)由(i)可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C(r，0，0)，B(0，r，0)，(0，r，2r)，

因为平面，所以是平面的一个法向量，

设平面的法向量，由，故，

取得平面的一个法向量为，因为，

所以。

1．(2010年高考山东卷理科19)(本小题满分12分)

如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

(Ⅰ)求证：平面PCD⊥平面PAC；

(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

(Ⅲ)求四棱锥P-ACDE的体积．

[解析](Ⅰ)证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，

所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，

又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为

，所以平面PCD⊥平面PAC；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则

，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；

(Ⅲ)由(Ⅰ)知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以

四棱锥P-ACDE的体积为=。

[命题意图]本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。