∥ (¹)的充要条件是x₁y₂-x₂y₁=0

设=(x₁， y₁) ，=(x₂， y₂)　 其中¹.

由=λ得， (x₁， y₁) =λ(x₂， y₂)　 　　消去λ，x₁y₂-x₂y₁=0

探究：(1)消去λ时不能两式相除，∵y₁， y₂有可能为0， ∵¹　 ∴x₂， y₂中至少有一个不为0

(2)充要条件不能写成　　　 ∵x₁， x₂有可能为0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ (¹)

2．平面向量的坐标运算

若，，

则，，.

若，，则

1．平面向量的坐标表示

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的(直角)坐标，记作

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.

(王海)

第6课时

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目的：

(1)理解平面向量的坐标的概念；

(2)掌握平面向量的坐标运算；

(3)会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

教　　 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)，　 C(1， 3)，　 D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.

2．若A(0， 1)，　 B(1， 2)，　 C(3， 4) ， 则-2=　　　 .

1．若M(3， -2)　 N(-5， -1) 且 ，　 求P点的坐标

例1 已知A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，求的坐标.

例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD时，由得D₁=(2， 2)

当平行四边形为ACDB时，得D₂=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D₃=(-6， 0)

例4已知三个力 (3， 4)，　 (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.

解：由题设++=　 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0)

即：　　 ∴　　 ∴(-5，1)

2．平面向量的坐标运算

(1) 若，，则，

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为、，则

即，同理可得

(2) 若，，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

=-=( x_2， y₂) - (x₁，y₁)= (x₂- x₁， y₂- y₁)

(3)若和实数，则.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

设基底为、，则，即

1．平面向量的坐标表示

　 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

…………1

我们把叫做向量的(直角)坐标，记作

…………2

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，2式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.

特别地，，，.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.

设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.