8．(2009·嘉兴基础测试)已知命题p：∃x∈R，x³－x²+1≤0，则命题綈p是________________．

答案　∀x∈R，x³－x²+1>0

7．(2009·台州期末)若命题p：∀x∈R，x²－1>0，则命题p的否定是______________．

答案　∃x∈R，x²－1≤0

6．(2010·临沂一模)已知命题p：∀x∈R,2x²+2x+<0；命题q：∃x∈R，sin x－cos x＝.

则下列判断正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．p是真命题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．q是假命题

C．綈p是假命题　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．綈　 q是假命题

解析　2x²+2x+<0⇔(2x+1)²<0，p为假；

sin x－cos x＝sin≤，故q为真．

∴綈q为假，故选D.

答案　D

5．(2009·天津滨海新区五校联考)命题“存在x∈Z使x²+2x+m≤0”的否定是(　)

A．存在x∈Z使x²+2x+m>0

B．不存在x∈Z使x²+2x+m>0

C．对任意x∈Z使x²+2x+m≤0

D．对任意x∈Z使x²+2x+m>0

解析　由定义知选D.

答案　D

4．(2010·杭州七校联考)已知命题p：a²≥0 (a∈R)，命题q：函数f(x)＝x²－x在区间[0，+∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．p∨q　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q)　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．(綈p)∨q

解析　p真，q假，∴p∨q为真，故选A.

答案　A

3．(2008·广东理，6)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(綈p)∨q　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．p∧q

C．(綈　 p)∧(綈q)　 　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(綈p)∨(綈q)

解析　不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为

真命题．

答案　D

2．(2009·济宁联考)下列命题：①∀x∈R，x²≥x；②∃x∈R，x²≥x；③4≥3；④“x²≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠－1”中，其中正确命题的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　　　　　 B．1 　　　　　　　　　 C．2　 　　　　　　　　 D．3

解析　②③正确，故选C.

答案　C

1．(2010·福州月考)下列有关命题的说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．命题“若x²＝1，则x＝1”的否命题为：“若x²＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x²－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1<0”

D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

解析　A中，否命题应为若x²≠1，则x≠1；B中，x＝－1⇒x²－5x－6＝0，应为充分条件；C中，命题的否定应为∀x∈R，均有x²+x+1≥0.

答案　D

1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

12．(14分)(2010·郑州联考)求关于x的方程ax²+2x+1＝0至少有一个负实根的充要条件．

解　(1)a＝0适合．

(2)a≠0时，显然方程没有零根．

若方程有两异号实根，则a<0；

若方程有两个负的实根，则

必有，解得0<a≤1.

综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1.

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，

因此，关于x的方程ax²+2x+1＝0至少有一负的实根的充要条件是a≤1.