3．下列各句中，加点的词语使用有误的一句是

A．柳永词抒发的是大众情感，他要搜刮大众人人心中所有的东西变成歌词，然后再得到他们的喝彩。

B．难得的一个假日，他花了将近四个小时，忙出一身大汗，累得直不起腰，终于将书柜里的书归整了一番。

C．“神舟”七号飞船的船舱里，安装了几十件极精密的仪器设备，简直就是一个“太空实验室”。 D．记者在采访时发现，这个饭店洗手间的毛巾、手纸等经常被一些缺少公共道德的顺理成章地占为己有。　　

2．下列词语中没有错别字的一组是　　

　A．目前海峡两岸面临着抵御全球金融危机的共同任务和挑战，两岸更应该加强沟通，积极推动互会互利的合作，努力化挑战为机遇。

　B．要妥善处理优先发展与量力而行的关系，避免盲目上项目和过渡负债，要正确处理办学规模与办学质量的关系,坚持内含式发展。

　C．至少在短期之内，不要指望中国能为遏制正在全球蔓延的经济衰竭起很大作用，这并不是说中国故意逃避责任，也不是对中国的经济前景感到悲观。　

D．几只隽逸的在鳞鳞如觳纹的湖面横掠着，小燕子的剪尾或翼尖，偶沾了水面一下，那小圆晕便一圈一圈地荡漾了开去。

(湖南省衡阳市2008/2009学年度高三联合考试)

1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是

A．讣告 fù　　 　杵臼 xǔ　　　 煲汤 bāo　　　 同仇敌忾kài

　B．侪辈 chái　　 绾结 wǎn　　　 揆度 kuí　　　 韦编三绝wéi

　C．刹那 chà　　 愆期 yǎn　　　 蓦地 mò　　　 含英咀华jǔ

　D．霰雪 xiàn　　 旌表 jīnɡ　　　 睇眄 ɡài　　　 翘首而待qiáo

7．(本小题满分12分)

已知数列

(1)证明

(2)求数列的通项公式a_n.

解：(1)方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

　 ∴，命题正确.

2°假设n=k时有

　 则

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

　　　 1°当n=1时，∴；

　　 2°假设n=k时有成立，

　　　 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时　 成立，所以对一切

　 (2)下面来求数列的通项：所以

,

又b_n=－1，所以

6．(本小题满分12分)

　　　 数列{a_n}满足.

(Ⅰ)用数学归纳法证明：；

(Ⅱ)已知不等式，其中无理数e=2.71828….

(Ⅰ)证明：(1)当n=2时，，不等式成立.

(2)假设当时不等式成立，即

那么.　 这就是说，当时不等式成立.

根据(1)、(2)可知：成立.

(Ⅱ)证法一：

由递推公式及(Ⅰ)的结论有

两边取对数并利用已知不等式得

　 故　

上式从1到求和可得

即

(Ⅱ)证法二：

由数学归纳法易证成立，故

令

取对数并利用已知不等式得　

上式从2到n求和得　

因

故成立.

5．(本小题满分12分)

　　　 已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

　 (Ⅰ)求双曲线C₂的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围.

解：(Ⅰ)设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

(II)将

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即　 　　　　　　①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得

　　　　 ③

由①、②、③得

故k的取值范围为

4．(本小题满分14分)

已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

(I)求动圆圆心的轨迹的方程；

(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

解：(I)如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；

(II)如图，设，由题意得(否则)且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①

(1)当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点

(2)当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，所以，

此时，直线的方程可表示为即

所以直线恒过定点

所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.

3．(本小题满分12分)

已知数列的首项前项和为，且

(I)证明数列是等比数列；

(II)令，求函数在点处的导数并比较与的大小.

解：由已知可得两式相减得

即从而当时所以又所以从而

故总有，又从而即数列是等比数列；

(II)由(I)知

因为所以

从而=

=-=

由上-=

=12①

当时，①式=0所以；

当时，①式=-12所以

当时，

又

所以即①从而

2．(本小题满分12分)

　　　 函数在区间(0，+∞)内可导，导函数是减函数，且 设

是曲线在点()得的切线方程，并设函数

　 (Ⅰ)用、、表示m；

　 (Ⅱ)证明：当；

　 (Ⅲ)若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，

　　　　 求b的取值范围及a与b所满足的关系.

本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

　 (Ⅰ)解：…………………………………………2分

　 (Ⅱ)证明：令

　　　　 因为递减，所以递增，因此，当；

　　　　 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的

最小值为0，因此即…………………………6分

　 (Ⅲ)解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　　 对任意成立的充要条件是

　　　 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用(II)的结果可知，的充要条件是：过点(0，)与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为

　　　 于是的充要条件是…………………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式 ②

　　　 有解、解不等式②得　　　　　　　　　　　　　 ③

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

(Ⅲ)解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.

　　　 对任意成立的充要条件是

　　　　 ………………………………………………………………8分

　　　 令，于是对任意成立的充要条件是

　　　 　由

　　　 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分

　　　 综上，不等式对任意成立的充要条件是

　　　 　　　　 ①

　　　 显然，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式　 ②

　　　 有解、解不等式②得

　　　 因此，③式即为b的取值范围，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

1．(本小题满分14分)

已知椭圆的左、右焦点分别是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

　 (Ⅰ)设为点P的横坐标，证明；

　 (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；

　 (Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

(Ⅰ)证法一：设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，所以 ………………………3分

证法二：设点P的坐标为记

则

由

证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

　　　 由椭圆第二定义得，即

　　　 由，所以…………………………3分

(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为

　　　　　 当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分

解法二：设点T的坐标为 当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.

　　　 当|时，由，得.

　　　 又，所以T为线段F₂Q的中点.

　　　 设点Q的坐标为()，则

　　　 因此　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 由得　　　　 ②

　　　 将①代入②，可得

　　　 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分

　　　 由③得，由④得　 所以，当时，存在点M，使S=；

　　　 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

　　　 当时，，

　　　 由，

　　　 ，

　　　 ，得

解法二：C上存在点M()使S=的充要条件是

　　　 由④得　 上式代入③得

　　　 于是，当时，存在点M，使S=；

　　　 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

　　　 当时，记，

　　　 由知，所以…………14分