4．在成长的过程中，人们会有许多刻骨铭心的感动，也有许多让人回味、让人珍惜的感受和经历。

请以“回味”为题，写一篇不少于800字的文章，除诗歌外，文体不限。

3．以“凝聚”为题，写一篇文章。

要求：① 除诗歌外，文体不限。② 不少于800字。

2．以“脊梁”为题，写一篇文章。

要求：① 除诗歌外，文体不限。② 不少于800字。

1. 请以“分忧”为题，写一篇文章。

10.(2005江西)已知数列{a_n}的各项都是正数,且满足

(1)证明

(2)求数列的通项公式a_n.

解：(1)方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=0时，　 　∴，命题正确.

2°假设n=k时有　 　则

而

又　　 ∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时，∴；

2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：

即

也即当n=k+1时　 成立，所以对一切

　 (2)下面来求数列的通项：所以

又b_n=－1，

所以

[探索题](2003全国)设为常数，且

　 证明对任意；

证法一：(i)当n=1时，由已知a₁=1－2a₀，等式成立；

　 (ii)假设当n=k(k≥1)等式成立，则

　　 那么

　　 也就是说，当n=k+1时，等式也成立.　 根据(i)和(ii)，可知等式对任何n∈N，成立.

　证法二：如果设　 代可得.

所以是公比为－2，首项为的等比数列.　

　 即

证法三: 同除以3ⁿ得,待定系数可解.

9. 已知数列{a_n}中，a_n∈(0，)，当n≥2时，a_n＝+·a_n－1²，求证：数列{a_n}递增.

证明：a_n+1－a_n＝+a_n²－a_n＝(a_n－1)²－.

∵0＜a_n＜，∴－1＜a_n－1＜－.

∴＜(a_n－1)²＜.

∴(a_n－1)²－＞0.

∴a_n+1－a_n＞0，即a_n＜a_n+1对一切自然数n都成立, 数列{a_n}递增.

8. 已知在正项数列{a_n}中，S_n表示前n项和且2=a_n+1，求a_n

解：由已知2=a_n+1，得当n=1时，a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1，代入已知有2=S_n－S_n－1+1，即S_n－1=(－1)².又a_n＞0，故=－1或= 1－(舍)，即－=1(n≥2)，由定义得{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=n.故a_n=2n－1.

7.在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=，求a_n.

剖析：将递推关系式变形，观察其规律.

解：原式可化为－=n，

∴－=1，－=2，－=3，…，－=n－1.

相加得－=1+2+…+(n－1)，　 ∴a_n=.