14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．

(I)求线段中点的轨迹的方程；

(II)过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．

解：(I)由题可设，，，其中.

则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

∵的面积为定值2，

∴.　　　　　　　　 2分

，消去，得：．　　　　　　　　　　　　　 4分

由于，∴，所以点的轨迹方程为(x＞0)．

5分

(II)依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．

由消去得：，　　　　　　　　　　 6分

设点、、、的横坐标分别是、、、，

∴由得　　　　　　　　　　　　　 8分

解之得：．

∴.　　　　　　　　　　　 9分

由消去得：，

由消去得：，

∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

由于为的三等分点，∴.　　　　　　　　 11分

解之得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.

12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l.

　 (1)求双曲线的方程；

　 (2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k_PM·k_PN的值.

(1)解：依题意有：

可得双曲线方程为 ………………………………………………6分

　 (2)解：设

所以

11、(北京市东城区2008年高三综合练习一)已知定圆圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.

　 (I)求曲线C的方程；

　 (II)若点为曲线C上一点，求证：直线与曲线C有且只有一个交点.

解：(I)圆A的圆心为，

设动圆M的圆心

由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，

故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，

所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，

设椭圆方程为，由

故曲线C的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 (II)当，

消去　　 ①

由点为曲线C上一点，

于是方程①可以化简为 解得，

综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为.

10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线，点P(1，－1)在抛物线C上，过点P作斜率为k₁、k₂的两条直线，分别交抛物线C于异于点P的两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且满足k₁+k₂=0.

　 (I)求抛物线C的焦点坐标；

　 (II)若点M满足，求点M的轨迹方程.

解：(I)将P(1，－1)代入抛物线C的方程得a=－1，

　　 ∴抛物线C的方程为，即

　　 焦点坐标为F(0，－).……………………………………4分

　 (II)设直线PA的方程为，

　　 联立方程消去y得

　　 则

　　 由………………7分

　　 同理直线PB的方程为

　　 联立方程消去y得

　　 则

　　 又…………………………9分

　　 设点M的坐标为(x，y)，由

　　 又…………………………………………11分

　　 ∴所求M的轨迹方程为：

9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.

(Ⅰ)求椭圆W的方程；

(Ⅱ)求证： ()；

(Ⅲ)求面积的最大值.

解：(Ⅰ)设椭圆W的方程为，由题意可知

解得，，，

所以椭圆W的方程为．……………………………………………4分

(Ⅱ)解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.于是可设直线 的方程为．

得.

由直线与椭圆W交于、两点，可知

，解得．

设点，的坐标分别为，,

则，，，．

因为，，

所以，.

又因为

，

所以．　　 ……………………………………………………………10分

解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.

于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,

则点的坐标为，，．

由椭圆的第二定义可得

,

所以，，三点共线，即．…………………………………10分

(Ⅲ)由题意知

　　 ，

当且仅当时“=”成立，

所以面积的最大值为．

8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R(－3,0),点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.

(Ⅰ)⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；

(Ⅱ)设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.

解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().

由得(3，)·(，)＝0,即

又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分

(Ⅱ)解法一：由题意可知N为抛物线C:y²＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。

当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；………7分

当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入得

则|AB|,解得　　　　　 …………………10分

　　　 代入原方程得，由于，所以,

　　　 由，得　 .　　　　　　　 ……………………13分

解法二：由题设条件得

由(6)、(7)解得或，又，故.

7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x²的焦点，离心率等于.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ₁，=λ₂，求证λ₁+λ₂为定值.

解：(I)设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1.

∴椭圆C的方程为 　…………………………………………………5分

　 (II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知F点的坐标为(2，0).

将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得 …………………………………………10分

　　　 …………………………………………………………12分

方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为(2，0).

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

　　　 ……………………………………7分

　　 ……………………………………8分

又

6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.

　 (I)求点G的轨迹C的方程；

　 (II)过点(2，0)作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

解：(1)Q为PN的中点且GQ⊥PN

　　 GQ为PN的中垂线|PG|=|GN|　　　　　　　　　　　　

 ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是 ………5分

　 (2)因为，所以四边形OASB为平行四边形

　　 若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形

　　 若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

　　 矛盾，故l的斜率存在. ………7分

　　 设l的方程为

　　 　 ①

　　 　 ②　 ……………9分　

　　 把①、②代入

　　 ∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.

5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB过轴上一点，斜率为，两端点A，B到轴距离之差为，

(1)求以O为顶点，轴为对称轴，且过A，B两点的抛物线方程；

(2)设Q为抛物线准线上任意一点，过Q作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过一定点；

解：(1)设抛物线方程为，AB的方程为，

联立消整理，得；∴，

又依题有，∴，∴抛物线方程为；

(2)设，，，∵，

∴的方程为；

∵过，∴，同理

∴为方程的两个根；∴；

又，∴的方程为

∴，显然直线过点