24、(本小题满分12分) 已知椭圆过点，且离心率e＝.

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。

由题意椭圆的离心率

∴椭圆方程为……2分

又点在椭圆上　　 　　　

∴椭圆的方程为……4分

(Ⅱ)设　　 由

消去并整理得……6分

∵直线与椭圆有两个交点

，即……8分

又　 中点的坐标为……9分

设的垂直平分线方程：

在上　　 　　即

……11分

将上式代入得　　

即或　 的取值范围为

23、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.

　 (1)求此双曲线的方程；

(2)设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.

解：(1)设双曲线的方程为，将点代入可得，

　　　　 双曲线的方程为.

　 (2)依题意，直线 的方程为 .设是双曲线右支上满足

　的点，结合 ，得，

即点到直线的距离　

　　 ①若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾；

②若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而

. 又因为 ，所以

.

当时，方程有唯一解 ，则；

当时，由得 ，此时方程有唯一解 ，则

综上所述，符合条件的值有两个：，此时；，此时.

22、(东北三校2008年高三第一次联考)设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且

　 (1)求椭圆C的离心率；

　 (2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：

相切，求椭圆C的方程.

解：⑴设Q(x₀，0)，由F(-c，0)

A(0，b)知

…2分

设，得………4分

因为点P在椭圆上，所以………6分

整理得2b²=3ac，即2(a²－c²)=3ac，,故椭圆的离心率e＝………8分

⑵由⑴知，

于是F(－a，0)， Q

△AQF的外接圆圆心为(a，0)，半径r=|FQ|=a…………10分

所以，解得a=2，∴c=1，b=，

所求椭圆方程为

21、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)已知中心在原点，左、右顶点A₁、A₂在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P(6,6)，动直线l经过△A₁PA₂的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。

(1)求双曲线C的标准方程

(2)当直线l的斜率为何值时，。

本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。

解(1)设双曲线C的方程为

由①、②解得

所以双曲线C的方程为。

(2)由双曲线C的方程可得

所以△A₁PA₂的重点G(2,2)

设直线l的方程为代入C的方程，整理得

整理得

由③，可得

由④、⑤，得

20、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)设双曲线C：的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。

　 (Ⅰ)若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；

　 (Ⅱ)求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；

　 (Ⅲ)过点F(1，0)作直线l与(Ⅱ)中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若(T为(Ⅰ)中的点)的取值范围。

解：(Ⅰ)由题，得，设

则

由　 …………①

又在双曲线上，则　 …………②

联立①、②，解得　 　

由题意，

∴点T的坐标为(2，0)　 …………3分

(Ⅱ)设直线A₁P与直线A₂Q的交点M的坐标为(x，y)

由A₁、P、M三点共线，得

　 …………③　 …………1分

由A₂、Q、M三点共线，得

　 …………④　 …………1分

联立③、④，解得 　　…………1分

∵在双曲线上，

∴

∴轨迹E的方程为　 …………1分

(Ⅲ)容易验证直线l的斜率不为0。

故可设直线l的方程为　 中，得

设

则由根与系数的关系，得　 ……⑤

　 ……⑥　 …………2分

∵ ∴有

将⑤式平方除以⑥式，得

　 …………1分

由

　 …………1分

∵

又

故

令　　 ∴，即

∴

而 ，　 ∴

∴

19、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知椭圆的离心率为，且其焦点F(c，0)(c＞0)到相应准线l的距离为3，过焦点F的直线与椭圆交于A、B两点。

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设M为右顶点，则直线AM、BM与准线l分别交于P、Q两点，(P、Q两点不重合)，求证：

解：(1)由题意有 解得

　　　　 ∴椭圆的标准方程为 ……………………………………5分

(2)①若直线AB与轴垂直，则直线AB的方程是

∵该椭圆的准线方程为,

∴，， ∴，

∴ ∴当直线AB与轴垂直时，命题成立。

②若直线AB与轴不垂直，则设直线AB的斜率为，

∴直线AB的方程为

又设

联立 消y得

∴　 ∴

又∵A、M、P三点共线，∴ 同理

∴，

∴

综上所述：

18、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)在面积为9的中，，且。现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示。

(1)求AB、AC所在的直线方程；

(2)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；

(3)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE(E、F为垂足)，求的值。

解：(1)设

则由

为锐角，

，

AC所在的直线方程为y=2x

AB所在的直线方程为y= -2x…………………………………………….4分

(2)设所求双曲线为

设，，，

由可得：

，

即　

由，可得，

又， ，

，

即，代入(1)得，

双曲线方程为…………………………………………………9分

(3)由题设可知，，

设点D为，则

又点D到AB，AC所在直线距离

，，

而=

17、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线和的斜率之积为定值；

(Ⅰ)证明：直线和的斜率之积为定值；

(Ⅱ)求点M的轨迹方程。

解：(I)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+p

16、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

(Ⅰ)若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

(Ⅱ)在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

(Ⅰ)解：

依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入， 消去整理得 　　………….. 2分

设　 则　 　………….. 4分

由线段中点的横坐标是，　 得，

解得，适合.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………….. 5分

所以直线的方程为 ，或 .　　　　　　　　　 　………….. 6分

(Ⅱ)解：

假设在轴上存在点，使为常数.

① 当直线与轴不垂直时，由(Ⅰ)知　 　

所以

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　………….. 8分

将代入，整理得

注意到是与无关的常数， 从而有， 此时　 .. 11分

② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，

当时， 亦有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………….. 13分

综上，在轴上存在定点，使为常数.

15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(II)求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

(Ⅲ)求的最大值和最小值．

解：(Ⅰ)由抛物线方程，得焦点．

设椭圆的方程：．

解方程组 得C(-1，2)，D(1，-2)．

由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，

∴，， ∴ ．　　　　 …………2分

∴又，

因此，，解得并推得．

故椭圆的方程为 ．　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

(Ⅱ)，

圆过点O、，

圆心M在直线上．

设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切，

∴

由得解得

所求圆的方程为…………………………8分

(Ⅲ) 由

①若垂直于轴，则，

　　　　 ，

　　　　 …………………………………………9分

②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为

由　　 得　

，方程有两个不等的实数根．

设，.

,　 ………………………………11分

　　 　　　=

，所以当直线垂于轴时，取得最大值

当直线与轴重合时，取得最小值