4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上．

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．

解：(Ⅰ)由题意可得直线l：　　 ①

过原点垂直于l的直线方程为 　　②

解①②得．

∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．

∴，

∴抛物线C的方程为．

(Ⅱ)设，，，

由，得．

又，．

解得 　　　③

直线ON：，即　　　 ④

由③、④及得，

点N的轨迹方程为．

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H也在该双曲线上；

(2)若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。

解：(1)略；(2)A(2+,2－), B(2－,2+)或A(2－,2+), B(2+,2－)

2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P(1，0)，且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(i)问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

(ii)当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y²=4x.

假设存在点C(－1，y)，使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

(ii)解法一：设C(－1，y)使△ABC成钝角三角形，

，

，

∠CAB为钝角.

.　

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

.

解法二： 以AB为直径的圆的方程为:

.

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，

B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

.

.

A，B，C三点共 线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设、分别是椭圆的左、右焦点.

(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

　 (Ⅱ)是否存在过点A(5，0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)易知

设P(x，y)，则

，

，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；

当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4

(Ⅱ)假设存在满足条件的直线l易知点A(5，0)在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k

直线l的方程为

由方程组

依题意

当时，设交点C，CD的中点为R，

则

又|F₂C|=|F₂D|

∴20k²=20k²－4，而20k²=20k²－4不成立，　 所以不存在直线，使得|F₂C|=|F₂D|

综上所述，不存在直线l，使得|F₂C|=|F₂D|

10.(2005天津)

已知

(Ⅰ)当时，求数列的前n项和

(Ⅱ)求。

解：(Ⅰ)当时，．这时数列的前项和

．　　①

①式两边同乘以，得　　 ②　

①式减去②式，得

若，

，

若，

(Ⅱ)由(Ⅰ)，当时，，

则．

当时，

此时，．

若，．

若，．

[探索题]　已知正项数列满足 ()，且

求证(1)(2)

证明:(1)将条件变形，得

于是，有

…………

将这n-1个不等式叠加，得

故　　

(2)注意到，于是由(1)得

，

从而，有　

9. 数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2－2a_n+1+a_n=0(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式.

(2)设b_n=(n∈N^*)，S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有S_n＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由.

解：(1)∵a_n+2－2a_n+1+a_n=0，

∴a_n+2－a_n+1=a_n+1－a_n(n∈N^*).

∴{a_n}是等差数列.设公差为d，

又a₁=8，a₄=a₁+3d=8+3d=2，

∴d=－2.∴a_n=－2n+10.

(2)b_n==

=(－)，

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=［(1－)+(－)+…+(－)］

=(1－)=.

假设存在整数m满足S_n＞总成立.

又S_n+1－S_n=－

=＞0，

∴数列{S_n}是单调递增的.

∴S₁=为S_n的最小值，故＜，

即m＜8.又m∈N^*，

∴适合条件的m的最大值为7.

8.数列的前n项和为S,且n=1,2,3….求

　 (I)的值及数列的通项公式；

　 (II)的值.

解：(I)由a₁=1，，n=1，2，3，……，得

，，，

由(n≥2)，得(n≥2)，

又a₂=，所以a_n=(n≥2),

∴ 数列{a_n}的通项公式为；

(II)由(I)可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，∴ =

7. 设数列{a_n}的首项a₁=a≠，且,

记，n＝＝l，2，3，…·．

(I)求a₂，a₃；

(II)判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

(III)求．

解：(I)a₂＝a₁+=a+，a₃=a₂=a+；

(II)∵ a₄=a₃+=a+, 所以a₅=a₄=a+,

所以b₁=a₁－=a－, b₂=a₃－=(a－), b₃=a₅－=(a－),

猜想：{b_n}是公比为的等比数列·

　　 证明如下：

　　 因为b_n+1＝a_2n+1－=a_2n－=(a_2n－1－)=b_n, (n∈N*)

　　 所以{b_n}是首项为a－, 公比为的等比数列·

　　 (III).

5.

;6. 解:因为为等比数列，所以

依题意知　 　

[解答题]

4.a_n=s_n-s_n-1=(a+b-bn)