41、(广东省五校2008年高三上期末联考)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且．

(1)求椭圆方程；

(2)若，求m的取值范围．

解：(1)设C：+＝1(a>b>0)，设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y²+＝1　　　 ………………………………………4分

(2)由＝λ得－＝λ(－)，(1+λ)＝+λ，

∴λ+1＝4，λ＝3　　　　　　 ………………………………………………6分

设l与椭圆C交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

得(k²+2)x²+2kmx+(m²－1)＝0

Δ＝(2km)²－4(k²+2)(m²－1)＝4(k²－2m²+2)>0 (*)

x₁+x₂＝， x₁x₂＝　 ………………………………………………9分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3(x₁+x₂)²+4x₁x₂＝0，∴3()²+4＝0

整理得4k²m²+2m²－k²－2＝0　 ………………………………………………11分

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以(*)成立

即所求m的取值范围为(－1，－)∪(，1)　　 ………………………14分

40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为且过点(4，-)

　 (1)求双曲线方程；

　 (2)若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；

　 (3)求△F₁MF₂的面积.

解：(1) ∵离心率e=

∴设所求双曲线方程为x²-y²=(≠0)

则由点(4，-)在双曲线上

知=4²-(-)²=6

∴双曲线方程为x²-y²=6

　　 (2)若点M(3,m)在双曲线上

　 则3²-m²=6　　 ∴m²=3

　 由双曲线x²-y²=6知F₁(2,0),F₂(-2,0)

　 ∴

　 ∴,故点M在以F₁F₂为直径的双曲线上.

(3)=×2C×|M|=C|M|=2×=6

39、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为．

　　 (Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．

解：(Ⅰ)依题意，有()，化简得

()，

这就是动点的轨迹的方程；

　　 (Ⅱ)依题意，可设、、，则有

，

两式相减，得，由此得点的轨迹方程为

()．

　　 设直线：(其中)，则

，

故由，即，解之得的取值范围是．

38、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为．求证：直线必过定点．

解：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，且⊥，∴是线段的垂直平分线．…………………….2分

∴是点到直线的距离．

∵点在线段的垂直平分线，∴．…………4分

故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．　　 ……….7分

(Ⅱ) 设，，直线AB的方程为…………….8分

　　　　　则

(1)-(2)得，即，……………………………………9分

代入方程，解得．

所以点M的坐标为．……………………………………10分

同理可得：的坐标为．

直线的斜率为，方程为

，整理得，………………12分

显然，不论为何值，均满足方程，

所以直线恒过定点．………………14

37、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知椭圆的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A(－4，0).

　 (1)求证：当时.，；

　 (2)若当时有，求椭圆C的方程；

　 (3)在(2)的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当 的值为6时, 求出直线MN的方程.

解：(1)设，

则，

当时，，

由M，N两点在椭圆上，

若，则(舍去)，　 (4分)

　 。(5分)

　 (2)当时，不妨设 (6分)

又，， (8分)

椭圆C的方程为。　 (9分)

　 (3)因为=6,　 (10分)

由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6,　 即得|y_M-y_N|=　 (11分)

当MN⊥x轴时, |y_M-y_N|=|MN|=, 故直线MN的斜率存在, (12分)

不妨设直线MN的方程为

联立，得，

=, 解得k=±1。

此时，直线的MN方程为，或。　 (14分)

35、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.

　 (1)证明：；

　 (2)若的面积取得最大值时的椭圆方程．

(1)证明：由 得

将代入消去得

　 　　① ………………………… 3分

由直线l与椭圆相交于两个不同的点得

整理得，即 ………5分

　 (2)解：设由①，得

∵而点,　 ∴

得代入上式，得　 ……………8分

于是，△OAB的面积 --------11分

其中，上式取等号的条件是即 ……………………12分

由可得

将及这两组值分别代入①，均可解出

∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是

　 36、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟考试)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，l交椭圆于A、B两个不同点。

　 (1)求椭圆的方程；

　 (2)求m的取值范围；

　 (3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

解：(1)设椭圆方程为

则

∴椭圆方程为

(2)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又K_OM=

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

(3)设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可…………9分

设……………………10分

则

由

……………………………………………………10分

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分

34、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.

(1)求点的轨迹方程；

(2)设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？

解：(1)依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线………………………………2分

　　∵　　　 ∴　

∴　曲线方程是………4分

(2)设圆的圆心为，∵圆过，

∴圆的方程为　　……………………………7分

令得：　

设圆与轴的两交点分别为，

方法1：不妨设，由求根公式得

，…………………………10分

∴

又∵点在抛物线上，∴，

∴　，即＝4--------------------------------------------------------13分

∴当运动时，弦长为定值4…………………………………………………14分

　(方法2：∵，　

∴

　又∵点在抛物线上，∴， ∴　　

∴当运动时，弦长为定值4)

33、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知圆：.

(1)直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;

(2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

解(Ⅰ)①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，

与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意………　 2分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，

即　 …………………………………………………… 3分

设圆心到此直线的距离为，则，得

∴，，　　　　

故所求直线方程为　 ……………………………………5分

综上所述，所求直线为或　 ……………………　 6分

(Ⅱ)设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是　 ……　 7分

∵，∴　 即， 　…………9分

又∵，∴ ……………………………　 10分

由已知，直线m ∥ox轴，所以，，…………………………… 11分

∴点的轨迹方程是，……………………　 12分

轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，

并去掉两点。

32、(广东省佛山市2008年高三教学质量检测一)抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，

(Ⅰ)求定点N的坐标；

(Ⅱ)是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为．

解：(1)因为抛物线的准线的方程为

所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，　　　　　　 -----------2分

所以定点N的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　 ----------------------------3分

(2)假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，　　　　　　　 　-----------4分

设的方程为，　　　　　　　　　 ------------------------5分

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， ----6分

方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，　 -------7分

即，解得，　　　　　　　　 -------------------------------8分

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！　　　　　　 --------------9分

当时，的方程为　　　　　　　 ----------------------------10分

由，解得点A坐标为，　　　　　　　 ------------------11分

由，解得点B坐标为，　　　　　 ------------------12分

显然AB中点不是，矛盾！　　　　　　　　 ----------------------------------13分

所以不存在满足条件的直线．　　　　　　　　 ------------------------------------14分

方法2：由，解得点A坐标为，　　　 ------7分

由，解得点B坐标为，　　　　 ------------8分

因为AB中点为，所以，解得，　　 ---------10分

所以的方程为，

圆心N到直线的距离，　　　　　　　　　 -------------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！　 ----13分

所以不存在满足条件的直线．　　　　　　　 -------------------------------------14分

方法3：假设A点的坐标为，

因为AB中点为，所以B点的坐标为，　　　　 -------------8分

又点B 在直线上，所以，　　　　　　　　 ----------------------------9分

所以A点的坐标为，直线的斜率为4，

所以的方程为，　　　　　　　　　　 -----------------------------10分

圆心N到直线的距离，　　　　　　　　　　 -----------------------------11分

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分

所以不存在满足条件的直线．

31、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知椭圆C：的左、右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设

　 (Ⅰ)证明：；

　 (Ⅱ)若的周长为6；写出椭圆C的方程.

解：(Ⅰ)证法一：因为A、B分别是直线轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是　 …………2分

由　 …………4分

所以点M的坐标是

即　 　　………………6分

证法二：因为A、B分别是直线轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是　　 ………………2分

设M的坐标是

　 ………………4分

因为点M在椭圆上，所以

即　

　…………6分

(Ⅱ)当的周长为6，得

所以