2. (Ⅰ)以D为原点，DA、DC、DD₁分别为

x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0),　

D₁ (0,0,2)，A₁ (1,0,2)，B₁ (1,1,2)，C₁ (0,1,2)， P(0,1,m)，

所以，

.………4分

(Ⅱ)∵

又∵，

∴的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则=，解得.

故当时，直线AP与平面所成角为60º.………………8分

(Ⅲ)∵m=1，∴P(0,1,1)，∴.

设平面PA₁D₁的法向量为，可求得，

设平面PAB的法向量为，可求得.

∴，

故平面PA₁D₁与平面PAB所成角为60⁰. ………………12分

1. 解法一：(1)∵BOCD为正方形，

∴BC⊥OD，折起后OD为AD在面BOCD上的射影，由三垂线定理知：BC⊥AD　 ……(3分)

(2)设BC交OD于E点，过E作EF⊥DA于F，连接CF，则CF⊥AD，

则∠CFE为所求二面角的平面角。

显然CE=，在RtΔAOD中，OA=2，OD=2，则AD=2，

，

∴tan∠CFE=，∴∠CFE=　　 ………(8分)

(3) ……(12分)

解法二：建立空间坐标系如图所示，

此时A(0,2,0)，B(0,0,2)，C(2,0,0)，D(2,0,2)

(1)=(2,0,-2)，=(2,-2,2)，∵4-4=0，∴BC⊥AD……(3分)

(2)取平面OAD的法向量，由于，取平面CAD的法向量

则，∴所求二面角为60°　 ………(8分)

(3)

………………………(12分)

11.(2011北京朝阳区一模)

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点．

⑴求证：平面；

⑵求证：平面；

⑶求直线与平面所成角的正弦值．

2010年新课标省市高三数学模拟题分类

　 第四节　 立体几何、空间向量详解答案

10.(2010浙江省考前预测卷)

如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

(1)求证：AB平面PCB；

(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；

(3)求平面PAC和平面PAB所成锐二面角的余弦值.

9.(2010吉林农安中学高三冲刺卷)

如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求四棱锥的体积；

(Ⅲ)求面与面所成锐二面角的余弦值．

8.(2010福建泉州一中最后模拟)

右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，//，且=。

(1)求证：//平面；

(2)若为线段的中点，

求证：平面；

(3)若，求平面与平面所成的二面角的大小。

7.(2010北京丰台区一模)

如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．

⑴求证：；

⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．

⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．

6.(2010东北师大附中最后一模)

如图，在直三棱柱中，，是棱上的动点，是中点 ，，.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若二面角的大小是，求的长.

5.(2010吉林实验中学模拟)

如图,在底面为直角梯形的四棱锥

,,

　 (Ⅰ)求证:

　 (Ⅱ)求二面角的大小．

4.(2010辽宁丹东二模)

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

(I)求证：EF平面PAD；

(II)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

(III)若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？