10.

9. 解：(I)当　　　　　　　　　　　　 ………………(2分)

故{a_n}的通项公式为；　　　　　　　　　　 ………………(4分)

设{b_n}的通项公式为

故 　………………(6分)

(II)　　　　　　　　　 ………………(8分)

两式相减得　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　………………(10分)

　　　　　　　　　　　　　 ………………(12分)

8. 解：(1)证法一：当时，，不等式成立，

假设时，成立　　　 (2分)，

当时，．(5分)

时，时成立

综上由数学归纳法可知，　　 对一切正整数成立　　　　 (6分)

证法二：当时，，结论成立；

假设时结论成立，即(2分)　 当时，

由函数的单增性和归纳假设有

(4分),

因此只需证：，

而这等价于，

显然成立，所以当是，结论成立；

综上由数学归纳法可知，　　 对一切正整数成立　　　　 (6分)

证法三：由递推公式得，

　　　　　　 (2分)

上述各式相加并化简得

　　　　　　　　　　 (4分)

又时，显然成立，　　　 故(6分)

7. ⑴∵点在直线上，∴

∴，是以为首项，为公比的等比数列，

∴　

⑵∵且，

∴，

∴且；

当时，．

⑶由⑵知

∴

∵时，

∴

，

∴，

即．

6. ⑴因为．

当时，；

所以．

所以．即．

又，

所以．

当时，上式成立．

因为，

所以是首项为，公比为的等比数列，故；

⑵由⑴知，．

则，

假设存在自然数，使得对于任意，有恒成立，

即恒成立，由，解得，

所以存在自然数，使得对于任意，

有恒成立，此时，的最小值为16．

⑶当为奇数时，

；

当为偶数时，

；

因此．

5. 解：(I)∵，∴，

∴

∴数列是等比数列，　　　　　　　　　　　　 　　　　……………(4分)

∵∴．　　　　　　　 　　　　……………(6分)

(II)方法1： 　，∵，∴数列是递减的等差数列，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　……………(8分)

令得，∵，∴ ………(10分)

∴数列的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，∴时，取最大值．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……………(12分)

方法2： ，∵，∴数列是等差数列，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　……………(8分)

，对称轴直线，

∵，∴，　　　 　　　　……………(10分)

∵，∴时，取最大值．　 …………(12分)

4. (I)

证明：∵，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(2分)

∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………(4分)

∴，即，得，所以．　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………(6分)

(II)证明：(i)当时，∵，∴，

∴，

∴，不等式成立；　 　　　　　　　　　　　　…………(8分)

(ii)假设当时，成立，

那么，当时，去证明

∵，∴；

∵，

∴；∴，　

所以不等式也成立，

由(i)(ii)可知，不等式成立． 　　　　　　　　　　　　　…………(12分)

3. ⑴∵，，，，

∴；；．

⑵由题设，对于任意的正整数，都有：

，

∴．

∴数列是以为首项，为公差的等差数列．

∴．

⑶对于任意的正整数，

当或时，；

当时，；

当时，．

证明如下：

首先，由，，，可知时，；

其次，对于任意的正整数，

时，；

时，

所以．

时，

事实上，我们可以证明：对于任意正整数，…(*)(证明见后)，

所以此时．

综上可知：结论得证．

对于任意正整数，(*)的证明如下：

ⅰ)当()时，

，满足(*)式．

ⅱ)当时，，满足(*)式．

ⅲ)当时，

于是只须证明，如此递推，可归结为ⅰ)或ⅱ)的情形，

于是(*)得证．

2. ⑴由已知，所以；

，所以，解得；

所以数列的公比；

⑵当时，，

，………………………①，

，……………………②，

②－①得，

所以，

．

⑶，

因为，所以由得，

注意到，当n为奇数时，；当为偶数时，，

所以最大值为，最小值为．

对于任意的正整数n都有，

所以，解得，

即所求实数m的取值范围是．

1. 解：(1)取，则　∴()

∴是公差为，首项为的等差数列 ∴　　　　　　　 …………4分

(2)∵　 　①

∴　　　　　　 　②

①-②得：∴　 　…………6分

当时，　∴，满足上式 ∴　 …………8分

(3)　假设存在，使

．

．　 ．　

当为正偶函数时，恒成立，∴．∴　　　　　　 …………11分

当为正奇数时，恒成立．∴

∴．∴．

综上可知，存在实数．使时，恒成立．　　 …………14分