26.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)

已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和

(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；

(Ⅱ)设，证明：当且仅当n≥3时，＜ .　 　　　

[思路]由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。

[解析](1)由于

当时,

又当时

数列项与等比数列,其首项为1,公比为 .　 　　　

(2)由(1)知

由即即

又时成立,即由于恒成立. .　 　　　

因此,当且仅当时,

25.(2009安徽卷理)(本小题满分13分)

首项为正数的数列满足 　　　　　

(I)证明：若为奇数，则对一切都是奇数；

(II)若对一切都有，求的取值范围.

解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。

解：(I)已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。 　　　　

根据数学归纳法，对任何，都是奇数。

(II)(方法一)由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。

(方法二)由得于是或。

因为所以所有的均大于0，因此与同号。

根据数学归纳法，，与同号。 　　　　

因此，对一切都有的充要条件是或。

24.(2009广东卷理)(本小题满分14分).　 　

已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：.

解：(1)设直线：，联立得，则，∴(舍去).　 　

，即，∴

(2)证明：∵ .　 　

∴

由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，

则有，即. 　　　　　　.　 　

23.(2009山东卷文)(本小题满分12分)

等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的　 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. 　　　

(1)求r的值；　　　

(11)当b=2时，记　 　　求数列的前项和

解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,

当时,, 　　　

当时,,

又因为{}为等比数列,　 所以,　 公比为,　　 所以

(2)当b=2时，,　　

则

相减,得

所以

[命题立意]:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.

22.(2009山东卷理)(本小题满分12分)

等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的　 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.

(1)求r的值；　　　

(11)当b=2时，记　 　　.　 　

证明：对任意的 ，不等式成立

解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,

(2)当b=2时，,　　

则,所以 .　 　

下面用数学归纳法证明不等式成立.

①　　 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.

②　　 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=

所以当时,不等式也成立. .　 　

由①、②可得不等式恒成立.

[命题立意]:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.

21.(2009江苏卷)(本题满分10分)

对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中(和可以相等)；对于随机选取的(和可以相等)，记为关于的一元二次方程有实数根的概率。

(1)求和；

(2)求证：对任意正整数≥2，有.

[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。

　.　 　

20.(2009江苏卷)(本小题满分14分)

设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。

(1)求数列的通项公式及前项和； 　　

(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项。 　　

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

(1)设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,

(2) _(方法一)=,设， 　　

则=,　 所以为8的约数

(方法二)因为为数列中的项，

故为整数，又由(1)知：为奇数，所以

经检验，符合题意的正整数只有。.　 　

19.(2009浙江文)(本题满分14分)设为数列的前项和，，，其中是常数．

　 (I) 求及；

　 (II)若对于任意的，，，成等比数列，求的值．

解析：(Ⅰ)当，

　　　 ()

　　　 经验，()式成立，　　　

　　 (Ⅱ)成等比数列，，

即，整理得：，

对任意的成立，　　　　　

18.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知点(1，)是函数且)的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+().

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? .　 　

[解析](1),

　,,

　　　　 　.

又数列成等比数列， ，所以 ；

又公比，所以　 　；

又,, ；

数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，

当， 　；

()；

(2)

　　　 　；

　 由得，满足的最小正整数为112.

17.(2009宁夏海南卷文)等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= 　　　　　　　.　 　

[答案]

[解析]由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。