2.绝对值的运算性质

(注意不等式成立的条件)

(注意不等式成立的条件)

;　　

1. 绝对值的定义和性质：

;　

2.掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路;掌握去掉绝对值符号的方法;会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；

1.理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│, 能利用绝对值的定义的性质分析解题;

9．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.

　 ⑴求CD的长度；　 ⑵求CD与平面所成的角

解：⑴因为

，故有

，

∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴

.

(2)过C作CE⊥平面α于E，连接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，连接DE，则∠CDE就是CD与平面α所成角。

8. 如图，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点

求：(1)与所成的角；

(2)P点到平面EFB的距离；

(3)异面直线PM与FQ的距离

解：建立空间直角坐标系，

则D(0，0，0)、A(a，0，0)、B(a，a，0)、C(0，a，0)、M(0，0，a)、E(a，0，a)、F(0，a，a)，

则由中点坐标公式得P(,0,)、Q(,,0)

(1)∴=(－，0，)，=(，－，－a)，

·=(－)×+0+×(－a)=－a²，

且||= a，||= a.

∴cos〈，〉===－.

故得两向量所成的角为150°

(2)设=(x，y，z)是平面EFB的法向量，

即⊥平面EFB，∴⊥，⊥.

又=(－a，a，0)， =(0，a，－a)，

即有，

取，则.

∵ 　=(，0，).

∴ 设所求距离为d，则= a.

(3)设=(x₁，y₁，1)是两异面直线的公垂线的方向向量，

则由=(－，0，)，=(，－，－a)，

得,

而 =(0，a，0) 所求距离=a.

7.(2004全国·河北)如下图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

(1)求点P到平面ABCD的距离；

(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小.

解(1)：如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB.

∵PA=PD，∴OA=OD.

于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB=120°，∠PEO=60°.由已知可求得PE=，

∴PO=PE·sin60°=×=，即点P到平面ABCD的距离为.

(2)解法一：如下图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

P(0，0，)，B(0，，0)，PB中点G的坐标为(0，，)，连结AG.

又知A(1，，0)，C(－2，，0).

由此得到 =(1，－，－)，

　=(0，，－)，=(－2，0，0).

于是有·=0，·=0，

∴⊥，⊥. ，的夹角θ等于所求二面角的平面角.

于是cosθ==－，

∴所求二面角的大小为π－arccos.

解法二：如下图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，

则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE·cos60°=，

在Rt△GAE中，AE=AD=1，于是tan∠GAE== .

又∠AGF=π－∠GAE，

∴所求二面角的大小为π－arctan.

6．(2004浙江文)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

(Ⅰ)求证AM∥平面BDE；

(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF；

(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小；

解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.

　　 设，连接NE，

　　 则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),

　∴=(,

　　 又点A、M的坐标分别是 、(.

　 ∴ =(

∴ =且与AM不共线，∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

(Ⅱ)

(Ⅲ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF.

5. 设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5,－4,8)，求D到平面ABC的距离.

解：∵A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5,－4,8)，

∴;

设平面ABC的法向量=(x，y，z)，则·=0，·=0，

∴

即

令z=－2，则=(3，2，－2)由点到平面的距离公式：

==.

∴点D到平面ABC的距离为.

4．二面角α--β的平面角为120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB＝AC＝BD＝，则CD的长为　　 ．

◆答案提示：1.A;　 2. A;　 3.120°; 4. 2

[解答题]