253. 　如图所示，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.

解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝a,EF＝＝a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.

说明　 异面直线所成角的求法：

利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.

252.　 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AA₁和的中点分别是E、F.

(1)证明EF是AA₁与BD₁的公垂线段；

(2)求异面直线AA₁和BD₁间的距离.

解析：(1)连接ED₁、EB，

则显然ED₁＝EB＝a

又F为BD₁之中点.

∴　 EF⊥BD₁；

连接FA₁，FA.

∵　 F为正方体的中心，

∴　 FA＝FA₁，又E为AA₁之中点，

∴　 EF⊥A₁A.

故EF为AA₁与BD₁的公垂线段.

(2)在RtΔEFD₁中

EF＝＝.

故AA₁到BD₁间的距离是.

评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.

251.　 已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.

解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.

证：用反证法.

假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.

(1)若b∥c,∵　 c∥a,　 ∴　 a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；

(2)若b∩c＝P,∵　 bβ，∴　 P∈β.

又∵　 cα，∴　 P∈α.　 ∴　 P∈α∩β而α∩β＝a.

∴　 P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.

综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.

说明　 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.

250.　 分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　 )

A.平行　　　　 B.异面　　　　 C.平行或异面　　　　 D.相交或异面

解析：本题考查两条直线的位置关系，异面直线的概念，以及空间想象能力.

解法一：设两条异面直线分别为l₁，l₂，则与它们分别相交的两条直线有可能相交，如图1，也可能异面，如图2，它们不可能平行，这是由于：假设这两条直线平行，则它们确定一个平面α，两条平行线与两条异面直线l₁与l₂的四个交点均在α内，则两异面直线l₁与l₂也在α内，这是不可能的.∴应选D.

解法二：利用排除法，容易发现，分别和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交的位置关系，由于这点可以排除选择选A、B、C.故选D.

249. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有(　　 )

A.12对　　　　 B.24对 　　　　 C.36对　　　　　 D.48对

解析：本题以六棱锥为依托，考查异面直线的概念及判断，以及空间想象能力.

解法一：如图，任何两条侧棱不成异面直线，任何两条底面上的棱也不成异面直线，所以，每对异面直线必然其中一条是侧棱而另一条为底面的棱，每条侧棱，可以且只有与4条底面上的棱组成4对异面直线，又由共6条侧棱，所以异面直线共6×4＝24对.

解法二：六棱锥的棱所在12条直线中，能成异面直线对的两条直线，必定一条在底面的平面内，另一条是侧棱所在直线.底面棱所在直线共6条，侧棱所在直线也有6条，各取一条配成一对，共6×6＝36对，因为，每条侧棱所在的直线，与底面内的6条直线有公共点的都是2条，所以，在36对中不成异面直线的共有6×2＝12对.所以，六棱锥棱所在的12条直线中，异面直线共有36-12＝24对.

248.　 已知：A₁、B₁、C₁和A₂、B₂、C₂分别是两条异面直线l₁和l₂上的任意三点，M、N、R、T分别是A₁A₂、B₁A₂、B₁B₂、C₁C₂的中点.求证：M、N、R、T四点共面.

证明　 如图，连结MN、NR，则MN∥l₁,NR∥l₂，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l₁∥l₂与条件矛盾).∴　 MN、NR可确定平面β，连结B₁C₂，取其中点S.连RS、ST，则RS∥l₂，又RN∥l₂，∴　 N、R、S三点共线.即有S∈β，又ST∥l₁，MN∥l₁，∴MN∥ST，又S∈β，∴　 STβ.

∴　 M、N、R、T四点共面. =2：1

又是正三角形的BD边上的高和中线,∴点G是正三角形的中心.故，即。

证明二：由(I)知，，，

当时，平行六面体的六个面是全等的菱形.同的证法可得，　又，所以。　

247.设相交于G.，，且，所以如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求异面直线A₁C₁与BD₁的距离.

解析：本题的关键是画出A₁C₁与BD₁的公垂线，连B₁D₁交A₁C₁于O，在平面BB₁D₁内作OM⊥BD₁，则OM就是A₁C₁与BD₁的公垂线，问题得到解决.

解　 连B₁D₁交A₁C₁于O，作OM⊥BD₁于M.

∴　 A₁C₁⊥B₁D₁，BB₁⊥A₁C₁，BB₁∩B₁D₁＝B₁.

∴　 A₁C₁⊥平面BB₁D₁.　 ∴　 A₁C₁⊥OM，又OM⊥BD₁.

∴　 OM是异面直线A₁C₁与BD₁的公垂线.

在直角ΔBB₁D₁中作B₁N⊥BD₁于N.

∵　 BB₁·B₁D₁＝B₁N·BD₁，a·a＝B₁N·a，

∴　 B₁N＝a,OM＝B₁N＝a.

故异面直线A₁C₁与BD₁的距离为a.

评析：作异面直线的公垂线一般是比较困难的，只有熟练地掌握线、线垂直，线、面垂直的关系后才能根据题目所给条件灵活作出.本题在求OM的长度时，主要运用中位线和面积的等量关系.

246.如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，(1)证明： ；

(II)假定CD=2，，记面为α，面CBD为β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；

(III)当的值为多少时，能使？请给出证明. 解析：(I)证明：连结、AC，AC和BD交于.，连结， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD， 可证，，

故，但AC⊥BD，所以，从而；　　　　　　

(II)解：由(I)知AC⊥BD，，是二面角α-BD-β的平面角，在中，BC=2，，，　∵∠OCB=60°，，，故C₁O=，即C₁O=C₁C，作，垂足为H，∴点H是.C的中点，且，所以;

(III)当时，能使

证明一：∵，所以，又，由此可得，∴三棱锥是正三棱锥.，　　　　　　　　　

245.已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是DD₁的中点，且截面EAC与底面ABCD成45⁰角，AA₁=2a，AB=a，(1)设Q是BB₁上一点，且BQa，求证：DQ面EAC；(2)判断BP与面EAC是否平行，并说明理由？(3)若点M在侧面BB₁C₁C及其边界上运动，并且总保持AMBP，试确定动点M所在的位置。

解析：(1)证：首先易证ACDQ，再证EODQ(O为AC与BD的交点)在矩形BDD₁B₁中，可证EDO与BDQ都是直角三角形，由此易证EODQ，故DQ面EAC得证；

(2)若BP与面EAC平行，则可得BP//EO，在三角形BPD中，O是BD中点，则E也应是PD中点，但PD=DD₁=a，而ED=DO=BD=a，故E不是PD中点，因此BP与面EAC不平行；

(3)易知，BPAC，要使AMBP，则M一定在与BP垂直的平面上，取BB₁中点N，易证BP面NAC，故M应在线段NC上。

244.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, (1)求MN的长(用x,y表示)；(2)求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。

解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN²=

，在中，MN=

；

(2)MN，故当，时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。