445. 如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．

图9-29

解析：连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．

444. 已知正方体．则

　(1)与平面ABCD所成的角等于________；

　(2)与平面ABCD所成的角的正切值等于________；

　(3)与平面所成的角等于________ ；

　(4)与平面所成的角等于________；

　(5)与平面所成的角等于________.

解析：(1)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 为与平面ABCD所成的角，

=45°．

　(2)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 为与平面ABCD所成的角．设，则，∴　

　(3)∵　 平面，，∴　 ∥平面，∴　 与平面所成的角为0°．

　(4)∵　 ⊥平面，∴　 与平面所成的角为90°．

　(5)连结AC，交AD于H．连结，∵　 ⊥平面ABCD，CH平面ABCD，

∴　 ，又∵　 CH⊥BD，∴　 CH⊥平面．∴　 为在平面内的射影．∴　 为与平面所成的角．设正方体棱长为1，则，，∴　 ，即与平面所成的角为30°．

443. 设正方体的棱长为1，则

　(1)A到的距离等于________；

　(2)A到的距离等于________；

　(3)A到平面的距离等于________；

　(4)AB到平面的距离等于________．

解析：1)连接，AC，则，取的中点E，连结AE，则．

∴　 AE为点A到直线的距离，在Rt△ACE中，，，　

∴　 ，∴　 ．即A到、C的距离等于．

(2)连结．∵　 AB⊥平面，∴　 ．在Rt△中，AB=1，，，设A到的距离为h，则．即

，∴　 ，即点A到的距离为．

　(3)连结交于F，则．∵　 CD⊥平面，且AF平面，∴　 CD⊥AF．∵　 CD∩AD=D，∴　 AF⊥平面．∴　 AF为点A到平面的距离．∵　 ，∴　 ．

　(4)∵　 AB∥CD，∴　 AB∥平面，∴　 AB到平面的距离等于A点

到平面的距离，等于．

442. 下列命题中正确的是(　)．

　A．若a是平面a 的斜线，直线b垂直于a在平面a 内的射影为，则a⊥b

　B．若a是平面a 的斜线，平面b 内的直线b垂直于a在平面a 内的射影为，则a ⊥b

　C．若a是平面a 的斜线，直线b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 内的射影，则a⊥b

　D．若a是平面a 的斜线，b是平面a 内的直线，且b垂直于a在另一个平面b 内的射影，则a⊥b

解析：C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面a 内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令b 是直线a与其在a 内的射影确定的平面，在b 内取垂直于的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在a 内任取点P，∵　 ，则过b与P确定平面g ，设，因为b∥a ，则．∵　 ，∴　 ．∴　 ，∴　 b⊥a．于是C正确．

441. 已知直线PG⊥平面a 于G，直线EFa ，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是(　)．

　A．PE＞PG＞PF 　　　　　　　　　　　B．PG＞PF＞PE

　C．PE＞PF＞PG　 　　　　　　　　　　D．PF＞PE＞PG

解析：C．如图答9-17．PG⊥a ，EFa ，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．

440. ABCD是平面a 内的一个四边形，P是平面a 外的一点，则△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有(　)．

　A．1个　 　　　　　B．2个　 　　　　C．3个　　 　　　　D．4个

解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，则所有的三角形都是直角三角形

439. 直线a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是两条相交直线，则a和b的位置关系是(　)．

　A．异面直线　 　　　B．相交直线 　　　C．平行直线　 　　　D．相交或异面直线

解析：D

438. 若直线l与平面a 所成角为，直线a在平面a 内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是(　)．

　A．　　　　　　　　　　　　　 B．

　C．　　　　　　　　　　　　 　D．

解析：C．因为直线l是平面的斜线，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，故a与l所成的角大于或等于；又因为异面直线所成的角不大于，故选C．

437. 已知a、b是异面直线，那么经过b的所在平面中(　)．

　A．只有一个平面与a平行　 　　　　　　B．有无数个平面与a平行

　C．只有一个平面与a垂直 　　　　　　　D．有无数个平面与a垂直

解析：A．过b上任一点P作直线，由和b确定的平面a 与a平行，这个平面是过b且平行于a的唯一一个平面．故排除B．当a与b不垂直时，假设存在平面b ，使bb ，且a⊥b ，则a⊥b，这与a、b不垂直矛盾，所以当a、b不垂直时，不存在经过b且与a垂直的平面，当a、b垂直时，过b且与a垂直的平面是唯一的，设a、b的公垂线为c，则由c和b所确定的平面与a垂直，且唯一．

436. 空间四边形ABCD的四条边相等，那么它的两条对角线AC和BD的关系是(　)．

　A．相交且垂直　 　　　　　　　　　　　B．相交但不垂直

　C．不相交也不垂直　 　　　　　　　　　D．不相交但垂直

解析：D．取BD中点O，则BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．