356. 　已知平面α∥平面β，B，D∈β，AB⊥CD，且AB＝2，直线AB与平面α所成的角为30°，则线段CD的长为取值范围是(　　 )

A.［1，+∞］　　 B.(1，)　　 C.( ，)　　 D.［，+∞)

解析：本题考查直线与直线所成的角，直线与平面所成的角的概念。线面垂直的判定和性质，以及空间想象能力和几何计算.

解　 如图所示，过D作DA′∥AB交平面α于A′.由α∥β，故DA′＝AB＝2，DA′与α成30°角，由已知DC⊥AB，可得DC⊥DA′，所以DC在过DC且与DA′垂直的平面γ内，令∩α＝l，在内，DC⊥l时为最短，此时DC＝DA′·tan30°＝.故CD≥.∴应选D.

355. 一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD等于(　　 )

A.120°　　　　　 B.150°　　　　　 C.135°　　　　　 D.90°

解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。

如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BO＝a,DO＝a，连AB，因为DA⊥AE，DA⊥BE，故DA⊥面AEB，所以DA⊥AB，故ΔDAB为直角三角形，BD＝＝＝=a.

又在ΔBOD中，由余弦定理可得 cos∠BOD＝＝＝-，所以∠BOD＝120°

评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。

354. 已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：

(1)α∥βl⊥m　　　 (2)α⊥βl∥m

(3)l∥mα⊥β　　　 (4)l⊥mα∥β

其中正确的两个命题是(　　 )

A.(1)与(2)　　　　 B.(3)与(4)　　　　 C.(2)与(4)　　　　 D.(1)与(3)

分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.

解法一：在l⊥α，mβ的前提下，当α∥β时，有l⊥β，从而l⊥β，从而l⊥m，得(1)正确；当α⊥β时，l垂直于α、β的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故(2)不正确.故应排除A、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B，得D.

解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由l∥m,l∥α知m⊥α，从而由mα得α⊥β.即(3)正确.故选D.

解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l⊥α,m⊥β不能否定m是α、β的交线，因此α∥β不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除B、C.依据A和D的内容可知(1)必定是正确的，否则A和D也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断.

353. 如图9-50，点A在锐二面角a -MN-b 的棱MN上，在面a 内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面b 所成的角为30°，求二面角a -MN-b 的大小．

解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BH⊥b 于H，连结AH，则∠BAH为射线AP与平面b 所成的角，∴　∠BAH=30°，再作BQ⊥MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面b 内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ⊥MN，∴　∠BQH为二面角a -MN-b 的平面角．

图答9-44

　设BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BQA=90°，∠BAM=45°，∴　，在Rt△BAH中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴　．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a，，，∵　∠BQH是锐角，∴　∠BQH=45

即二面角a -MN-b 等于45°．

352. 在正方体中，求二面角的大小．

解析：如图9-43，在平面内作，交于E．连结，设正方体棱长为a，在△和△中，，，

，∴　△≌△，∵　，∴　，∴　为二面角的平面角．在Rt△中，，∴　，∴　,在△中，

，，，

，

351. (1)已知直线a∥平面a ，a⊥平面b ．求证：b ⊥a ．

　　 (2)已知三个平面a 、b 、g ，a ∥b ，a ⊥g ．求证：b ⊥g ．

解析：(1)如图答9-41，∵　a∥a ，∴　在a 上任取一点，过a与A确定平面g ，设，则．∵　a⊥b ，∴　 ．∵　a ，∴　a ⊥b ．

　　 (2)在g 上任取P，设，在g 内作，∵　a ⊥g ，∴　PQ⊥a ．∵　a ∥b ，∴　PQ⊥b ，∵　PQg ，∴　b ⊥g ．

350. 如图9-46，二面角a -AB-b 的棱AB上有一点C，线段CDa ，CD=100，∠BCD=30°，点D到平面b 的距离为，则二面角a -AB-b 的度数是________．

解析：60°．作DH⊥b 于H，DE⊥AB于E，连结EH，则EH是DE在平面b 内的射影．由三垂线定理的逆定理，HE⊥AB，∴　∠DEH为二面角a -AB-b 的平面角．在Rt△DCE中，CD=100，∠BCD=30°，∴　DE=CDsin30°=50，在Rt△DEH中，，

∴　∠DEH=60°，即二面角a -AB-b 等于60°．

349. 立体图形A-BCD中，AB=BC=CD=DB=AC=AD，相邻两个面所成的二面角的平面角为q ，则(　)．

　A．　B． 　 C．　 D．

解析：A．任取一个二面角，如A-BC-D，取BC中点E，可证AE⊥BC，DE⊥BC，∴　

∠AED是二面角A-BC-D的平面角，设AB=1，则

348. 正方体中，二面角的大小的余弦值为(　)．

　A．0　　 　 B．　　　 C．　　　D．

解析：B．取BD中点O，连结、，则，，∴　为二面角的平面角，设为q ，设正方体棱长为a，则，

∴　

∴　

347. 线段AB长为2a，两端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角为45°和30°，那么A、B在棱上的射影间的距离为(　)．

　A．2a　 　　 B．a 　　　　　C．　 　 D．

解析：B．如图答9-39，设直二面角为a -l-b ，作AC⊥l于C，BD⊥l于D，则AC⊥b ，BD⊥a ，连结AD、BC，∴　∠ABC为AB与b 所成的角，∠BAD为AB与a 所成的角，∴　

∠ABC=30°，∠BAD=45°，∵　AB=2a，∴　AC=a，．在Rt△ACD中，，∴　CD=a．

图答9-39