406. 　如图，在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.

(1)求二面角α-l-β的大小；

(2)求证：MN⊥AB；

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.

解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.

∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α-l-β的平面角.

∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α-l-β的大小为45°.

(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB

(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角.

405.　 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.

解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.

∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，

∴sin∠CDD′＝＝

∴CD＝a　 ∴D′D＝2a

∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC

又在RtΔABC中，AC＝＝a,

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.

在RtΔPAB中，可得PB＝a.

在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.

在RtΔPAD中，PD＝＝a.

∵PC²+CD²＝(a)²+(a)＝8a²＜(a)²

∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°

∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P-CD-A的平面角.

在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.

∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.

在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.

∴∠AEP＝arctan，即二面角P-CD-A的大小为arctan.

(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.

AH为点A到平面PBC的距离.

在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.

即A到平面PBC的距离为a.

说明　 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

404.　 如果直线l、m与平面α、β、满足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有(　　 )

A.α⊥且l⊥m　　　　　　 B.α⊥且m∥β

C.m∥β且l⊥m　　　　　　　 D.α∥β且α⊥

解析：∵mα,m⊥.　 ∴α⊥.

又∵m⊥,β∩＝l.　 ∴m⊥l.

∴应选A.

说明　 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.

403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.

已知：二面角α-ED-β，平面过ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.

求证：AB∶AC＝k(k为常数)

证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.

∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.

∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.

∠BFA，∠AFC分别为二面角α-DE-，-DE-β的平面角，它们为定值.

在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.

在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：

＝＝定值.

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.

已知：从二面角α-AB-β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.

证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，

∵PC⊥α，PD⊥β

∴PC⊥AB，PD⊥AB

∴CE⊥AB，DE⊥AB

又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α-AB-β的平面角.

在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°

∴∠CPD和二面角α-AB-β的平面∠CBD互补.

401.　 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A-CD-B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?

解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.

∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A-CD-B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥.

∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.

400. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 点A₁在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD为A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C为矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中点E，连A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_侧=396

399. 四棱锥V-ABCD底面是边长为4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，(1)求点V到CD的距离；(2)求点V到BD的距离；(3)作OF⊥VC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；(4)求异面直线BD与VC间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD内作AE⊥CD，E为垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE为VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD为正三角形

∴ E为CD中点，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂线定理VO⊥BD

∴ VO长度为V到直线BD距离

　 VO=

　 (3)只需证OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线

　 (4)求出OF长度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·

398. 平面α内有半径为R的⊙O，过直径AB的端点A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一点，∠CAB=60⁰，求三棱锥P-OBC的侧面积。

解析：三棱锥P-OBC的侧面由△POB、△POC、△PBC三个三角形组成

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥AO，AC为PC在平面ABC上的射影

∵ BC⊥AC

∴ BC⊥PC

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POB中，

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 PBC中，BC=ABsin60⁰=2a

∴ AC=a

∴ PC=

∴

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POC中，PO=PC=，OC=a

∴

∴ S_侧=

397. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA₁与底面两边AB、AC均成60⁰的角，AA₁=7

　 (1)求证：AA₁⊥BC；(2)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；(3)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；(4)求AA₁到侧面BB₁C₁C的距离。

解析：设A₁在平面ABC上的射影为0

∵ ∠A₁AB=∠A₁AC

∴ O在∠BAC的平行线AM上

∵ △ABC为正三角形

∴ AM⊥BC

又AM为A₁A在平面ABC上的射影

∴ A₁A⊥BC

　 (2)

∵ B₁B∥A₁A

∴ B₁B⊥BC，即侧面BB₁C₁C为矩形

∴

又

∴ S_全=

　 (3)∵ cos∠A₁AB=cos∠A₁AO·cos∠OAB

∴ cos∠A₁AO=

∴ sin∠A₁AO=

∴ A₁O=A₁Asin∠A₁AO=

∴

　 (4)把线A₁A到侧面BB₁C₁C的距离转化为点A或A₁到平面BB₁C₁C的距离

为了找到A₁在侧面BB₁C₁C上的射影，首先要找到侧面BB₁C₁C的垂面

设平面AA₁M交侧面BB₁C₁C于MM₁

∵ BC⊥AM，BC⊥A₁A

∴ BC⊥平面AA₁M₁M

∴ 平面AA₁M₁M⊥侧面BCC₁B₁

在平行四边形AA₁M₁M中

过A₁作A₁H⊥M₁M，H为垂足

则A₁H⊥侧面BB₁C₁C

∴ 线段A₁H长度就是A₁A到侧面BB₁C₁C的距离

∴