4.(2009·新郑调研)若f(x)=log_ax在［2，+∞)上恒有f(x)＞1,则实数a的取值范围是　　　　　 　(　 )　

A.()?　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　B.(0,)∪(1，2)

?C.(1，2)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　D. (0,)∪(2，+∞)　

答案?C?　

3.已知log₇［log₃(log₂x)］=0，那么x等于　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(　 )　

　A.　　　　　 　　　　?B.　　　　　 　　　　 　C.?　　　　 　　　　　D.

答案?C?　

2.已知3^a=5^b=A,且=2，则A的值是　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A.15　　　　　　　 　　　　B. 　　　　　　　　　C.±　　 　　 　　　D.225　

答案?B?　

1.(2008·全国Ⅱ理，4)若x∈(e^-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln³x,则　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　(　 )

A.a＜b＜c　　　　　　　　 B.c＜a＜b　　　　　　　 C.b＜a＜c　　　　　　　 D.b＜c＜a　

答案?C?　

12.已知f(x)=.　

(1)判断函数奇偶性；　

(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；　

(3)求f(x)的值域.　

(1)解　 ∵f(x)的定义域为R，　

且f(-x)==-f(x)，　

∴f(x)是奇函数.　

(2)证明　 方法一　 f(x)=.　

令x₂＞x₁，则f(x₂)-f(x₁)　

=(1-

当x₂＞x₁时，10-10＞0.　又∵10+1＞0,10+1＞0，　

故当x₂＞x₁时，f(x₂)-f(x₁)＞0，　即f(x₂)＞f(x₁).所以f(x)是增函数.　

方法二　 考虑复合函数的增减性.　

由f(x)=∵y₁=10^x为增函数，　

∴y₂=10^2x+1为增函数，y₃=为减函数，　

y₄=-为增函数，　

f(x)=1-为增函数.　

∴f(x)=在定义域内是增函数.　

(3)解　 方法一　 令y=f(x)，由y=解得10^2x=.　

∵10^2x＞0，∴-1＜y＜1.　

即f(x)的值域为(-1，1).　

方法二　 ∵f(x)=1-,∵10^2x＞0,∴10^2x+1＞1.　

∴0＜＜2,∴-1＜1-＜1,即值域为(-1,1).

§2.7　 对数与对数函数

基础自测

11.已知函数f(x)=(a^x-a^-x) (a＞0，且a≠1).　

(1)判断f(x)的单调性；　

(2)验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m²)＜0的实数m的范围.　

解 (1)设x₁＜x₂,x₁-x₂＜0,1+＞0.　

若a＞1,则,＞0,　

所以f(x₁)-f(x₂)=＜0，　

即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数；　

同理，若0＜a＜1，则,＜0,　

f(x₁)-f(x₂)=(1+)＜0,　

即f(x₁)＜f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.　

综上，f(x)在R上为增函数.　

(2)f(x)=则f(-x)=,　

显然f(-x)=-f(x).　f(1-m)+f(1-m²)＜0,　

即f(1-m)＜-f(1-m²)f(1-m)＜f(m²-1),　

函数为增函数，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m²-1＜1,可得1＜m＜.

10.已知函数f(x)=(　

(1)求f(x)的定义域；　

(2)讨论f(x)的奇偶性；　

(3)证明：f(x)＞0.　

(1)解　 由2^x-1≠0x≠0,∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).　

(2)解　 f(x)=(

可化为f(x)=　

则f(-x)=

∴f(x)=(x³是偶函数.　

(3)证明　 当x＞0时，2^x＞1,x³＞0.　

∴(x³＞0.　

∵f(x)为偶函数，∴当x＜0时，f(x)=f(-x)＞0.　

综上可得f(x)＞0.

9.要使函数y=1+2^x+4^xa在x∈(-，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.　

解　 由题意得1+2^x+4^xa＞0在x∈(-,1］上恒成立，即a＞-在x∈(-∞，1］上恒成立.　

又∵-=-(

∵x∴(.令t=(

则f(t)在［,+)上为减函数，　

f(t)≤f(=-(

即f(t)∈.　

∵a＞f(t),∴a∈(-，+).　

8.函数y=a^x(a＞0,且a≠1)在［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值是　　　　 .　

答案　 或　

7.若函数f(x)=a^x-1 (a＞0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a等于　　　　 .　

答案