18．(本小题满分12分)设数列{a_n}满足a₁＝t，a₂＝t²，前n项和为S_n，且S_n+2－(t+1)S_n+1+tS_n＝0(n∈N^*)．

(1)证明数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；

(2)当<t<2时，比较2ⁿ+2^－n与tⁿ+t^－n的大小；

(3)若<t<2，b_n＝，求证：++…+<2ⁿ－2－.

解：(1)证明：由S_n+2－(t+1)S_n+1+tS_n＝0，得tS_n+1－tS_n＝S_n+2－S_n+1，即a_n+2＝ta_n+1，

而a₁＝t，a₂＝t²，∴数列{a_n}是以t为首项，t为公比的等比数列，

∴a_n＝tⁿ.

(2)∵(tⁿ+t^－n)－(2ⁿ+2^－n)＝(tⁿ－2ⁿ)[1－()ⁿ]，又<t<2，∴<<1，则tⁿ－2ⁿ<0且1－()ⁿ>0，

∴(tⁿ－2ⁿ)[1－()ⁿ]<0，∴tⁿ+t^－n<2ⁿ+2^－n.

(3)证明：∵＝(tⁿ+t^－n)，

∴2(++…+)<(2+2²+…2ⁿ)+(2^－1+2^－2+…+2^－n)＝2(2ⁿ－1)+1－2^－n＝2ⁿ⁺¹－(1+2^－n)<2ⁿ⁺¹－2，

∴++…+<2ⁿ－2－.

17．(本小题满分12分)已知数列{a_n}中，其前n项和为S_n，且n，a_n，S_n成等差数列(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)求S_n>57时n的取值范围．

解：(1)∵n，a_n，S_n成等差数列，

∴S_n＝2a_n－n，S_n－1＝2a_n－1－(n－1)　(n≥2)，

∴a_n＝S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1－1　(n≥2)，

∴a_n＝2a_n－1+1　(n≥2)，

两边加1得a_n+1＝2(a_n－1+1)　(n≥2)，

∴＝2　(n≥2)．

又由S_n＝2a_n－n得a₁＝1.

∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴a_n+1＝2·2^n－1，即数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ－1.

(2)由(1)知，S_n＝2a_n－n＝2ⁿ⁺¹－2－n，

∴S_n+1－S_n＝2ⁿ⁺²－2－(n+1)－(2ⁿ⁺¹－2－n)

＝2ⁿ⁺¹－1>0，

∴S_n+1>S_n，{S_n}为递增数列．

由题设，S_n>57，即2ⁿ⁺¹－n>59.

又当n＝5时，2⁶－5＝59，∴n>5.

∴当S_n>57时，n的取值范围为n≥6(n∈N^*)．

16．(文)将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2　3

4　5　6

7　8　 9　10

11　12　13　14　15

…　…　…　…　…　…

根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．

解析：前n－1行共有正整数1+2+…+(n－1)＝个，即个，

因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，

即为.

答案：

(理)下面给出一个“直角三角形数阵”：

，

，，

…

满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a_ij(i≥j，i，j∈N^*)，则a₈₃＝________.

解析：由题意知，a₈₃位于第8行第3列，且第1列的公差等于，每一行的公比都等于.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为+(8－1)×＝2，a₈₃＝2×()²＝.

答案：

15．已知等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n(n∈N^*)．若a₁>1，a₄>3，S₃≤9，则通项公式a_n＝________.

解析：由a₁>1，a₄>3，S₃≤9得，，令x＝a₁，y＝d得，，在平面直角坐标系中作出可行域可知符合要求的整数点只有(2,1)，即a₁＝2，d＝1，所以a_n＝2+n－1＝n+1.

答案：n+1

14．已知数列{a_n}满足a₁＝，a_n＝a_n－1+(n≥2)，则{a_n}的通项公式为________．

解析：a_n－a_n－1＝＝(－)，a_n＝(a_n－a_n－1)+(a_n－1－a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁＝(－+－+…+1－+1)，得：a_n＝－.

答案：a_n＝－

13．(2010·长郡模拟)已知数列{a_n}满足：a₁＝m(m为正整数)，a_n+1＝，若a₆＝1，则m所有可能的取值为________．

解析：由a₆＝1⇒a₅＝2⇒a₄＝4⇒a₃＝1或8⇒a₂＝2或16⇒a₁＝4或5、32.

答案：4,5,32

12．已知数列{a_n}满足a_n+1＝+，且a₁＝，则该数列的前2 008项的和等于 (　)

A．1 506 　　　　　　B．3 012 　　　　C．1 004　 　　　　　　　D．2 008

解析：因为a₁＝，又a_n+1＝+，所以a₂＝1，从而a₃＝，a₄＝1，即得a_n＝，故数列的前2 008项的和为S_{2 008}＝1 004·(1+)＝1 506.

答案：A

11．(2010·平顶山模拟)已知{a_n}是递增数列，对任意的n∈N^*，都有a_n＝n²+λn恒成立，则λ的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(－，+∞) 　　　　　　　　　B．(0，+∞)

C．(－2，+∞)　 　　　　　　　　　D．(－3，+∞)

解析：数列{a_n}是递增数列，且a_n＝n²+λn，则a_n+1－a_n＝2n+1+λ>0在n≥1时恒成立，只需要λ>(－2n－1)_max＝－3，故λ>－3.

答案：D

10．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．2　　　　　 　B．3 　　　　　　　C．4　 　　　　　　D．5

解析：由等差数列的前n项和及等差中项，

可得＝＝＝

＝＝＝＝7+(n∈N^*)，故n＝1,2,3,5,11时，为整数．

答案：D

9．在等比数列{a_n}中，若a₃a₅a₇a₉a₁₁＝32，则的值为　　　　 　　　　　　　(　)

A．4 　　　　B．2 　　　C．－2 　　　D．－4

解析：由等比数列的性质得a₃·a₁₁＝a₅·a₉＝a，所以a₇＝2，故＝＝a₇＝2.

答案：B