5．(2005年辽宁卷)如图所示，已知为坐标原点，为轴上一动点，过点作直线交抛物线于两点，，试问：当为何值时，取得最小值，并求出这个最小值。

例6．给定双曲线.

(1)过点的直线与所给的双曲线交于，求线段的中点的轨迹方程；

(2)过点能否作直线，使与所给的双曲线交于，且是线段的中点？若存在，求出直线方程.如果不存在，请说明理由。

［剖析］本题是探索性问题，考查方程思想，韦达定理及解析几何中的“设而不求”的思想。

［解］(1)解法一：设，

(i)若存在，则由可得，

①②，得，代入②，得

有

(ii)当不存在时，有，则也合符合上式。

综合(i)(ii)可知点的轨迹方程为.

解法二：设，则，

两式相减，得

当，时，，即；

当时，也满足.

故点的轨迹方程为.

(2)假设满足题设条件的直线存在，设

可得

，

直线的方程为，即

由于方程组无解，故满足条件的直线不存在。

［警示］探索性试题常见的题型有两类：一类是给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出一般规律，并能论证所得规律的正确性；通常要求对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律。第二类是只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论，这类问题常以适合某种条件下的结论“存在”、“不存在”与“是否存在”等词语表述.解决这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性也随之解决；若推导出矛盾，则否定了存在性。

［变式训练］

4.直线l经过点(1，1)，若抛物线y²=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围.

例5．设椭圆方程为，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：

　 (1)动点P的轨迹方程；

　 (2)的最小值与最大值.

［剖析］本题分成了两个小问题，第一个小问题是求轨迹问题，可借助于求轨迹的方法处理；对于第二小问，结合题目的特点可以借助函数的单调性来加以解决。

［解］(1)解法一：直线l过点M(0，1)设其斜率为k，则l的方程为

记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组

于是

设点P的坐标为则消去参数k得　　 ③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方

程为

解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以

　 ④　　　 　　⑤

④-⑤得，所以

当时，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦　 将⑦代入⑥并整理得 　　⑧

当时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0，0)

也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

(2)解：由点P的轨迹方程知所以

故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，

最大值为

［警示］本题主要考查圆锥曲线的最值问题，此类问题的求解策略主要有两种：(1)几何法：若题目条件和结论能明显体现某一曲线的几何特征及意义，则可以考虑结合图形来加以解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可以首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法及函数的单调性法等。

［变式训练］

3.对于每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点

(1)求证：；

(2)取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点.

试证：.

例4．已知椭圆，试确定的取值范围，便得椭圆上存在不同的两点关于直线对称。

［剖析］直接设出这两个不同点的坐标，由点的坐标适合椭圆方程、经过这两点的直线斜率的表示、这两点的中点在椭圆内几个已知条件，列出关系式，联立求解范围；也可以把这两个不同的点所确定直线的方程设出来与椭圆方程联立，运用一元二次方程判断式及韦达定理分析求解。

联立④⑥得代入⑤，得

.

解法二：把对称点视为直线垂直平分弦之两端.设是椭圆上关于对称的两点，则所在的直线方程为与椭圆方程联立，消去得.

此方程有二个实根，，解之得：(*)

由韦达定理，得，弦中点纵坐标是.

又弦中点是直线与的公共点，

解方程组，得弦中点为，，即，代入(*)式，得，即.

［警示］本题把点和直线放在椭圆中考查，又运用了椭圆的有关几何性质，常见有两种思考方法：一是由条件联立方程组整体分析和代换求解；二是应用一元二次方程的判别式及韦达定理，进行分析求解.对于圆锥曲线上存在两点关于某一条直线对称，求有关参数的问题，可以用参数表示弦的中点的坐标，利用中点在曲线的内部和在直线上等条件，建立不等式或不等式组来求出参数的范围；或者利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判断式大于零，建立不等式进行求解。

［变式训练］

1．　 椭圆与直线相交于两点，是的中点.若，直线的斜率为，求椭圆的方程。

例3．过点的直线与抛物线相交于两点，求中点的轨迹方程。

［剖析］求中点的轨迹方程，可以借助于点差法与韦达定理来解决。

［解］易知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，再设，的中点坐标为，则，则

两式作差，得，那么，由于，得，即.

又由于，由，得或，

由于，可得或

从而所得轨迹方程为(或).

［警示］整体运算，本题可以作为一典型题目，它通过整体推理、整体代换等有效地绕过许多中间环节使运算直指结论。它既可优化解题过程又可以给我们带来一种赏心悦目的解题享受.本题借助于整体运算产生中点的轨迹方程，其过程简练、运算简单. 在欣赏整体运算的同时，需要注意解析的后部分，借助方程组产生的范围，这是多同学容易漏掉的地方，少了它，结论的完备性就不存在了。

［变式训练］

1．对于抛物线，称满足的点有抛物线的内部.若点在抛物线的内部，试求直线与抛物线的公共点的个数.

例2．过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度.

［剖析］由点差法可容易求解出直线方程，知道直线方程，借助弦长公式可求出线段的长度。本题采用了设而不求的方法，即设点，代入，作差，借助于直线的斜率解题方法，这种方法称为“点差法”，是解析几何解决直线与圆锥曲线问题的常用的技巧之一，应在理解的基础上进行训练.

［解］设，由得，显然不合题意，，，，从而直线的方程为，即.

由，得，

.

［警示］本题还可以设出直线的方程代入椭圆方程，运用韦达定理，求出直线的斜率.直线与椭圆相交，出现中点弦问题的常规处理方法有三种：(1)通过方程组转化为一元二次方程，结合韦达定理及中点坐标公式进行求解；(2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；(3)中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项.

［变式训练］

6．已知直线与抛物线交于两点，且过抛物线的焦点，点A的坐标为，则线段AB的中点到抛物线准线的距离是　　　　　　　 .

[典例精析]

例1．已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值。

［剖析］首先考虑曲线是否是抛物线，当时，是直线，因此要对进行讨论，然后就时，联立直线与抛物线组成的方程组进行求解。

［解］联立方程

(1)当时，此方程组恰有组解 ；

(2)当时，消去，得；

①当，即时，方程变为一元一次方程，方程恰有一组解；

②若，即时，令，得，解得，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点.

综上所述，当，或时，直线与曲线恰有一个公共点。

［警示］本题设计了两个思维陷阱，第一个就是同学们在审请的过程中往往视的情况，误认为对应的曲线就是抛物线；第二个是在解答的过程中不讨论二次项系数即的可能，从而漏掉两个解.另外，在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，应特别注意并不是直线与曲线有且只有一个公共点的充要条件.事实上，求曲线与曲线的点的个数，就是它们的方程组成的方程组解的个数。在具体解方程时，需要比较消去与消去哪个简单，从而选择恰当的消参方式，还要注意只是是直线与曲线有且只有一个公共点的充分不必要条件.

［变式训练］：

5．过抛物线的焦点作垂直与轴的直线，交抛物线于两点，则以为圆心，为直径的圆的方程是　　　　　　　　　　　 .

4．(2005年济南模拟试题)直线与椭圆相交于两点，椭圆上的点使的面积等于12，这样的点C共有(　　 )

(A)1个　　　　　　　 (B)2个　　　　　 (C)3个　　　　　　　 (D)4个

3．抛物线过焦点的弦的中点的轨迹方程是(　　 )

(A) 　　(B) 　　　(C) 　　　　(D)

2．与直线平行的抛物线的切线方程为(　　 )

(A)　　 (B) 　(C) 　　(D)