19．(江苏16)(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱中，_、分别是、的中点，点在上，_。

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面平面.

[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分。

19．(Ⅰ)证明：连接，　 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD

(Ⅱ)在中，，所以

　而DC平面ABC，，所以平面ABC

　而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE

由(Ⅰ)知四边形DCQP是平行四边形，所以

　所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，

　所以直线AD与平面ABE所成角是

　在中， ，

所以

18．(浙江19

17.(山东18)((本小题满分12分)

　　 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E分别是棱AD、AA的中点. 　 　

(1)　　　 设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；

(2)　　　 证明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

证明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，

连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形，所以CF₁//A₁D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

(2)连接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,

　F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

,△ACF为等腰三角形，且

所以AC⊥BC,　 又因为BC与CC₁都在平面BB₁C₁C内且交于点C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

[命题立意]: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.

16. (宁夏海南19) (18)(本小题满分12分)

如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

(Ⅰ)证明：AB⊥PC

(Ⅱ)若，且平面⊥平面，　　　

求三棱锥体积。 (18)解：

(Ⅰ)因为是等边三角形，,

所以,可得。

如图，取中点，连结,,

则,,

所以平面,

所以。　　　　　　　　　　　 ．．．．．．6分　 　　　　

(Ⅱ)作，垂足为，连结．

因为，

所以，．

由已知，平面平面，故．　　　　．．．．．．8分

因为，所以都是等腰直角三角形。

由已知，得， 的面积．

因为平面，

所以三角锥的体积

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．12分

15. (辽宁19)(本小题满分12分)

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

(I)若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；

(II)用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。　 　　　　

(19)解

　 (Ⅰ)取CD的中点G连结MG，NG.

　 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，

　 所以MG⊥CD，MG＝2，.

　 因为平面ABCD⊥平面DCEF，

　所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.

　所以　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …..8分

则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。　 　　　　

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。　　　　　　　　　　　　　　 ……..12分

14. (广东18)(17.(本小题满分13分)

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图;

(2)求该安全标识墩的体积

(3)证明:直线BD平面PEG

[解析](1)侧视图同正视图,如下图所示.

　　(2)该安全标识墩的体积为：

　　(3)如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.

　　　　　 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,　

　　　　　 又　 平面PEG

　　　　　 又　　 平面PEG；　 　　　　　

13. (福建20) (本小题满分12分)

如图，平行四边形中，，将

沿折起到的位置，使平面平面

　 (I)求证： 　 　　　　　　　　

　 (Ⅱ)求三棱锥的侧面积。

(I)证明：在中，

　　 又平面平面

　　 平面平面平面

　　 平面

　　 平面

(Ⅱ)解：由(I)知从而

　　　　　 在中，

　　　　　 又平面平面

　　　　　 平面平面，平面

　　 而平面

　　　　　 综上，三棱锥的侧面积，

12. (安徽2) 本小题满分13分

如图，ABCD的边长为2的正方形，直线与平面ABCD平行，E和F式上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC, 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，

(1)证明：直线垂直且平分线段AD：

(2)若∠EAD=∠EAB,EF2,求多面

体ABCDEF的体积。

解：由且面ABCD

∴点在线段AD的垂直平分线上，同理

点在线段BC 的垂直平分线上，又ABCD是正方形

∴线段BC 的垂直平分线就是线段AD的垂直平分线，即点、都在线段AD的垂直平分线，所以直线垂直且平分线段AD。

(2)连接EB、EC。由题设知，多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E－ABCD和正四面体E－BCF两部分。

设AD的中点为M，在Rt△MEE^/中，由于ME^/=1，ME=，∴EE^/=

∴

又

∴多面体ABCDEF的体积为。

11．(辽宁16)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。

　　　 则该几何体的体积为 　　　　　　　　　　

[解析]这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,

　　　　 体积等于×2×4×3＝4

[答案]4