4.在△ABC中，A=105°，C=45°,AB=，则AC=　　　　 .

答案　 1

3.如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，M，N分别是AB，CD的中点，设=e₁, =e₂,　

可表示为　　　　　　 (用e₁,e₂表示).

答案　 e₂-e₁

2.向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为　　　　 .

答案　 90°

1.(2008·辽宁理)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2+ =0，则

=　　　　　 (用、表示).

答案　 2-

12.已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；

(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断.

(1)证明　 分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有=，

=，=， =

∴=+

=(-)+(-)

=(-)+(-)

=(+)

又∵=-=-=

∴=(+),∴=+

由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面.

(2)解　 由(1)得=,故∥.

又∵平面ABC，EG平面ABC.

∴EG∥平面ABC.

又∵=-=-=

∴MN∥EF，又∵MN平面ABC，EF平面ABC，

EF∥平面ABC.

∵EG与EF交于E点，

∴平面EFGH∥平面ABCD.

11.如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz内，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

(1)求的坐标；

(2)设和的夹角为，求cos的值.

解　 (1)如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E，

在Rt△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，

得BD=1，CD=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴DE=CD·sin30°=.

OE=OB-BD·cos60°=1-=.

∴D点坐标为(0，-，)，

即的坐标为(0，-，).

(2)依题意：=(，，0)，

=(0，-1，0)，=(0，1，0).

∴=- =(-，-1，)，

=- =(0，2，0).

设和的夹角为，

则cos=

=

==-.

∴cos=-.

10.如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为AA₁的中点，N为A₁B₁上的点，且满足A₁N=NB₁，P为底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心.求证：MN⊥MC，MP⊥B₁C.

证明　 设=a，=b，=c

则a、b、c两两垂直且模相等.

∴a·b=b·c=a·c=0，

又∵=NB₁

∴==b，

=+=a+b,

=++=-a+b+c,

∴·=(a+b)·(b+c-a)

=- =0.

∴MN⊥MC，

又=+ =+(b+c)=(a+b+c)，

=+=-a+c.

∴·=(a+b+c)(c-a)=0.∴MP⊥B₁C.

9.如图所示，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两

两夹角为60°.

(1)求AC₁的长；

(2)求BD₁与AC夹角的余弦值.

解　 记=a，=b，=c，

则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,

∴a·b=b·c=c·a=.

(1)||²=(a+b+c)²

=a²+b²+c²+2(a·b+b·c+c·a)

=1+1+1+2×(++)=6,

∴||=,即AC₁的长为.

(2)=b+c-a,=a+b,

∴||=,||=,

·=(b+c-a)·(a+b)

=b²-a²+a·c+b·c=1.

∴cos〈,〉==.

∴AC与BD₁夹角的余弦值为.

8.已知a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，则|b-a|的最小值为　　　 .

答案　

7.如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若=(+)，则　

=　　　 .

答案