本讲概念性强、抽象性强、思维方法独特。因此要立足于基础知识、基本方法、基本问题的练习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维的合理定势

1．使用公式P(A)=计算时，确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏

复习这部分内容及解答此类问题首先必须使学生明确判断两点：(1)对于每个随机实验来说，所有可能出现的实验结果数n必须是有限个；(2)出现的所有不同的实验结果数m其可能性大小必须是相同的。只有在同时满足(1)、(2)的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)=m/n得出的结果才是正确的。

所以_[来源:]

由事件的独立性的

_{[来源:学#科#网]}

解答2(Ⅰ)设事件A表示“一个月内被投诉2次”设事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”

所以

(Ⅱ)同解答1(Ⅱ)

(2008安徽理19)

(本小题满分12分)

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。

(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列；

(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率

(1)由得,从而

的分布列为

	0	1	2	3	4	5	6

(2)记”需要补种沙柳”为事件A,　 则　 得

　 　或

题型1：随机事件的定义

例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？

(1)“抛一石块，下落”.

(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；

(3)“某人射击一次，中靶”；

(4)“如果a＞b,那么a－b＞0”;

(5)“掷一枚硬币，出现正面”；

(6)“导体通电后，发热”；

(7)“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；

(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；

(9)“没有水份，种子能发芽”；

(10)“在常温下，焊锡熔化”．

解析：根据定义，事件(1)、(4)、(6)是必然事件；事件(2)、(9)、(10)是不可能事件；事件(3)、(5)、(7)、(8)是随机事件

点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以区分。

例2．(1)如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。

解析：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。

点评：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。

(2)在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。

解析：这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。

点评：这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的

题型2：频率与概率

例3．某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表：(求其发芽的概率)

解析：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动。故此种子发芽的概率为0.9。

点评：我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率

例4．进行这样的试验：从0、1、2、…、9这十个数字中随机取一个数字，重复进行这个试验10000次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括10000个数字的“随机数表”．在这个随机数表里，可以发现0、1、2、…、9这十个数字中各个数字出现的频率稳定在0.1附近．现在我们把一个随机数表等分为10段，每段包括1000个随机数，统计每1000个随机数中数字“7”出现的频率，得到如下的结果：

段序：n=1000	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
出现“7”的频数	95	88	95	112	95	99	82	89	111	102
出现“7”的频率	0.095	0.088	0.095	0.112	0.095	0.099	0.082	0.089	0.111	0.102

由上表可见，每1000个随机数中“7”出现的频率也稳定在0.1的附近．这就是频率的稳定性．我们把随机事件A的频率P(A)作为随机事件A的概率P(A)的近似值。

点评：利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意义上说是很繁琐的

题型3：随机事件间的关系

例5．(2009江西卷文)甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这₄个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

[解析]所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选.　

　　　　　　 答案　 　D

(1)(2009江苏卷)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为　　　 .

[解析] 考查等可能事件的概率知识。　

从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。

答案　 0.2

(2)把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是(　 )

　　　 (A)互斥但非对立事件　　　　　　　　　　　　　 (B)对立事件

(C)相互独立事件　　　　　 　　　　　 (D)以上都不对

答案：A。

点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。

例6．15.(2009湖北卷文)甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是　　　　　　 ，三人中至少有一人达标的概率是　　　　　 。

[解析]三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76

答案　 0.24　　　 0.76

点评：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。

题型4：古典概率模型的计算问题

例7．从含有两件正品a₁，a₂和一件次品b₁的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率

解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a₁，a₂)和，(a₁，b₂)，(a₂，a₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₂，a₂)。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，

则A=[(a₁，b₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₁，a₂)]，

事件A由4个基本事件组成，因而，P(A)==。

点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：(1)所有的基本事件必须是互斥的；(2)m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏

例8．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。

分析：(1)为返回抽样；(2)为不返回抽样

解析：(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x,y,z)记录结果，则x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=10³种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=8³种，因此，P(A)= =0.512。

(2)解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x,y,z)，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467。

解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x,y,z)记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但(x,y,z)，(x,z,y)，(y,x,z)，(y,z,x)，(z,x,y)，(z,y,x)，是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467。

点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误

题型5：利用排列组合知识解古典概型问题

例9．(2008四川理)

从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )

　(A)种　　　(B)种　　　(C)种　　(D)种

[解]：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；

　　　　 从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；

∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法　 故选C；

[考点]：此题重点考察组合的意义和组合数公式；

[突破]：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；

点评：该题通过排列、组合知识完成了古典概型的计算问题，同时要做到所有的基本事件必须是互斥的，要做到不重不漏。

例10．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验

(Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；

(Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；

解析：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B

(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2种：、，故。

(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1种：；芳香度之和等于2的取法有1种：，故。

点评：高考对概率内容的考查，往往以实际应用题出现。这既是这类问题的特点，也符合高考发展方向，考生要以课本概念和方法为主，以熟练技能，巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律

题型6：易错题辨析

例11．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率

错解：掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2，3，4，…，12}，故共有11种基本事件，所以概率为P=；

剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=。

我们经常见的错里还有“投掷两枚硬币的结果”，划分基本事件“两正、一正一反、两反”，其中“一正一反”与“两正”、“两反”的机会是不均等

类型四：基本事件 “不可数”

由概率求值公式，求某一事件发生的概率时，要求试验中所有可能出现的基本事件只有有限个

如果试验所包含的基本事件是无限多个，那根本就不会得到基本事件的总数，也就不能用公式来解决问题

例12．

甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，

(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？

错解：甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为。

剖析：错把分步原理当作分类原理来处理。

正解：甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为。

(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？

错解：甲、乙中甲抽到判断题的种数是6×9种，乙抽到判断题的种数6×9种，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为12×9；又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是10×9，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。

剖析：显然概率值不会大于1，这是错解。该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的，两人都抽取到选择题这种情况被重复计数

正解：甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90；

方法一：分类计数原理

(1)只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4=24；

(2)只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4=24；

(3)甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5=30；

故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。

方法二：利用对立事件

事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件

事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12；

故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是。

例14(2009陕西卷文)(本小题满分12分)

椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1

(Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；

(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率

解　 解答1(Ⅰ)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”

所以

(Ⅱ)设事件表示“第个月被投诉的次数为0”事件表示“第个月被投诉的次数为1”事件表示“第个月被投诉的次数为2”事件D表示“两个月内被投诉2次”

所以

所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为

5．古典概型

(1)古典概型的两大特点：1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2)每个基本事件出现的可能性相等；

(2)古典概型的概率计算公式：P(A)=；

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=。

4．事件间的运算

(1)并事件(和事件)

若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。

注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)；且有P(A+)=P(A)+P()=1。

(2)交事件(积事件)

若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件

3．事件间的关系

(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；

(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；

(3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；

2．随机事件的概率

事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。

由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

1．随机事件的概念

在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

(1)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

(2)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

(3)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性

预测2011年高考：

(1)对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现；

(2)对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主

3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。