18.证明：(法一)要证原不等式成立，只须证：

即只须证：

由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。

(法二)由对称性，不妨设：,则，

所以：(顺序和)(乱序和)

(顺序和)(乱序和)

将以上两式相加即得：.

17. 提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证时命题成立；第二步要明确目标，即在假设能够被6整除的前提下，证明也能被6整除.

证明：1)当时，显然能够被6整除，命题成立.

　　　 2)假设当时，命题成立，即能够被6整除.

　　　 当时，

.

　　　 由假设知能够被6整除，而是偶数，故能够被6整除，从而即能够被6整除.因此，当时命题成立.

　　　 由1)2)知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除;

16.提示:

15.提示:

14.提示: .

13.提示:

12. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.

解：函数的定义域为，且.

当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值.

11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.

证明：假设，都不小于2，即，且.

因为，，所以，且.把这两个不等式相加，得，

从而.这与已知条件矛盾.因此，，都不小于2是不可能的，即原命题成立.

10．提示：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为，，…，的乘积，问题就能得到解决.

证明：因为，所以，即.

同理，，…….因为，，…，，由不等式的性质，

得.

因为时，取等号，所以原式在时取等号.

9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.

证明：因为≥，，所以≥.　　　　　　 ①

因为≥，，所以≥.　　　　　　　　　 ②

因为≥，，所以≥.　　　　　　　　　 ③

由于，，不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得.