2.向量的运算

运算类型	几何方法	坐标方法	运算性质
向量的 加法	1.平行四边形法则 2.三角形法则
向量的 减法	三角形法则		,
数 乘 向 量	1.是一个向量,满足: 2.>0时, 同向; <0时, 异向; =0时, .
向 量 的 数 量 积	是一个数 1.时， . 2.

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；

坐标表示法 a＝xi+yj＝(x，y).

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.

(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

单位向量：a_O为单位向量｜a_O｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x₁，y₁)＝(x₂，y₂)

(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

10．中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且

(1)求的值；

(2)若，求的值

解:(1)由得：

由及正弦定理得：

于是：

(2)由得：，因，所以：，即：

由余弦定理得：

于是：

故：a+c

[探索题](2005上海)对定义域是.的函数.，

规定：函数

(1)若函数，，写出函数的解析式；

(2)求问题(1)中函数的值域；

(3)若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明

　[解] (1)

　 (2) 当x≠1时, h(x)= =x－1++2,

　　　 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立

∴函数h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞)

(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=

则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x－sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x－sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+sin2x, α=,

g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1－sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1－sin2x)=cos4x.

9． P是以F₁、F₂为焦点的椭圆上一点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.

剖析：依据椭圆的定义2a=|PF₁|+|PF₂|，2c=|F₁F₂|，

∴e=.

在△PF₁F₂中解此三角即可得证.

证明：在△PF₁F₂中，由正弦定理知

==.

由比例的性质得=

e===

=

==2cosα－1.

评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.

8．为进行科学实验，观测小球A、B在两条相交成角的直线型轨道上运动的情况，如图所示，运动开始前，A和B分别距O点3m和1m，后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道按箭头的方向运动。问：

　 (I)运动开始前，A、B的距离是多少米？(结果保留三位有效数字)。

　 (Ⅱ)几分钟后，两个小球的距离最小？

解：小球开始运动前的距离为：

　 (2)设t分钟后，小球A、B分别运动到A’、B’处，则

当时，

当时，

故

当，

故分钟后两个小球的距离最小。

7．(1)已知，求角的集合;

(2)已知cosx=-0.4,x∈[0,2π],求角x的集合.

解：先找出一个周期上的角,再加上周期.

(1)　　 在上,;　

在上,,

所求角x的集合为：

(常写成)

(2)　　 当;

当

综上得

5.; 6. y=.令=m，m∈(，1)，

则y=－2m²+3m－1.∈(0，］.

[解答题]

6. 已知x∈(0，),则函数y=的值域是_________.

◆练习简答：1-4. BBCA；4.由.sinA=sin(B+C)=－cosBcosC，得tanB+tanC=－1.

又tan(B+C)==－，tanA=.… A=.

5.函数y=sinx－cosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_______个单位得到.

4.(2005启东市调研)在斜△ABC中，sinA=－cosBcosC且tanBtanC=1－，则∠A的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A.　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

[填空题]