403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.

已知：二面角α-ED-β，平面过ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.

求证：AB∶AC＝k(k为常数)

证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.

∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.

∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.

∠BFA，∠AFC分别为二面角α-DE-，-DE-β的平面角，它们为定值.

在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.

在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：

＝＝定值.

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.

已知：从二面角α-AB-β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.

证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，

∵PC⊥α，PD⊥β

∴PC⊥AB，PD⊥AB

∴CE⊥AB，DE⊥AB

又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α-AB-β的平面角.

在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°

∴∠CPD和二面角α-AB-β的平面∠CBD互补.

401.　 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A-CD-B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?

解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.

∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A-CD-B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥.

∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.

400. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，AB=AC=10，BC=12，A₁到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A₁A=A₁B=A₁C

∴ 点A₁在平面ABC上的射影为△ABC的外心，在∠BAC平分线AD上

∵ AB=AC

∴ AD⊥BC

∵ AD为A₁A在平面ABC上的射影

∴ BC⊥AA₁

∴ BC⊥BB₁

∴ BB₁C₁C为矩形，S=BB₁×BC=156

取AB中点E，连A₁E

∵ A₁A=A₁B

∴ A₁E⊥AB

∴

∴

∴ S_侧=396

399. 四棱锥V-ABCD底面是边长为4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，(1)求点V到CD的距离；(2)求点V到BD的距离；(3)作OF⊥VC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；(4)求异面直线BD与VC间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线

在平面ABCD内作AE⊥CD，E为垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE为VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 线段VE长为点V到直线CD的距离

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD为正三角形

∴ E为CD中点，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂线定理VO⊥BD

∴ VO长度为V到直线BD距离

　 VO=

　 (3)只需证OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF为异面直线BD与VC的公垂线

　 (4)求出OF长度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·

398. 平面α内有半径为R的⊙O，过直径AB的端点A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一点，∠CAB=60⁰，求三棱锥P-OBC的侧面积。

解析：三棱锥P-OBC的侧面由△POB、△POC、△PBC三个三角形组成

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥AO，AC为PC在平面ABC上的射影

∵ BC⊥AC

∴ BC⊥PC

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POB中，

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 PBC中，BC=ABsin60⁰=2a

∴ AC=a

∴ PC=

∴

△　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 POC中，PO=PC=，OC=a

∴

∴ S_侧=

397. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为4cm的正三角形，侧棱AA₁与底面两边AB、AC均成60⁰的角，AA₁=7

　 (1)求证：AA₁⊥BC；(2)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的全面积；(3)求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；(4)求AA₁到侧面BB₁C₁C的距离。

解析：设A₁在平面ABC上的射影为0

∵ ∠A₁AB=∠A₁AC

∴ O在∠BAC的平行线AM上

∵ △ABC为正三角形

∴ AM⊥BC

又AM为A₁A在平面ABC上的射影

∴ A₁A⊥BC

　 (2)

∵ B₁B∥A₁A

∴ B₁B⊥BC，即侧面BB₁C₁C为矩形

∴

又

∴ S_全=

　 (3)∵ cos∠A₁AB=cos∠A₁AO·cos∠OAB

∴ cos∠A₁AO=

∴ sin∠A₁AO=

∴ A₁O=A₁Asin∠A₁AO=

∴

　 (4)把线A₁A到侧面BB₁C₁C的距离转化为点A或A₁到平面BB₁C₁C的距离

为了找到A₁在侧面BB₁C₁C上的射影，首先要找到侧面BB₁C₁C的垂面

设平面AA₁M交侧面BB₁C₁C于MM₁

∵ BC⊥AM，BC⊥A₁A

∴ BC⊥平面AA₁M₁M

∴ 平面AA₁M₁M⊥侧面BCC₁B₁

在平行四边形AA₁M₁M中

过A₁作A₁H⊥M₁M，H为垂足

则A₁H⊥侧面BB₁C₁C

∴ 线段A₁H长度就是A₁A到侧面BB₁C₁C的距离

∴

396. 正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，在侧棱BB₁上截取BD=，在侧棱CC₁上截取CE=a，过A、D、E作棱柱的截面ADE

　 (1)求△ADE的面积；(2)求证：平面ADE⊥平面ACC₁A₁。

解析：分别在三个侧面内求出△ADE的边长

AE=a，AD=a，DE=

∴ 截面ADE为等腰三角形

　 S=

　 (2)∵ 底面ABC⊥侧面AA₁C₁C

∴ △ABC边AC上的高BM⊥侧面AA₁C₁C

下设法把BM平移到平面AED中去

取AE中点N，连MN、DN

∵ MNEC，BDEC

∴ MNBD

∴ DN∥BM

∴ DN⊥平面AA₁C₁C

∴ 平面ADE⊥平面AA₁C₁C

395. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，∠BAC=30⁰，BC=1，AA₁=，M为CC₁中点，求证：AB₁⊥A₁M。

解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理

∵ ∠ACB=90⁰

∴ ∠A₁C₁B₁=90⁰

即B₁C₁⊥C₁A₁

又由CC₁⊥平面A₁B₁C₁得：CC₁⊥B₁C₁

∴ B₁C₁⊥平面AA₁C₁C

∴ AC₁为AB₁在平面AA₁C₁C的射影

由三垂线定理，下证AC₁⊥A₁M即可

在矩形AA₁C₁C中，AC=A₁C₁=，AA₁=CC₁=

∵ ，

∴

∴ Rt△A₁C₁M∽Rt△AA₁C₁

∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=90⁰

∴ ∠1+∠3=90⁰_­

∴ AC₁⊥A₁M

∴ AB₁⊥A₁M

评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线

394. 如右图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。

(1)求证：AC⊥面ABC₁；

(2)求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；

(3)求此三棱柱体积的最小值。

解析：(1)由棱柱性质，可知A₁C₁//AC

　　　　　　 ∵A₁C₁BC₁，　

　　　　　　 ∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁

　　　　 (2)由(1)知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁

　　　　　　　 在平面ABC₁内，过C₁作C₁HAB于H，则C₁H平面ABC，故点C₁在平面ABC上

　　　　　　　 的射影H在直线AB上。

　　　　 (3)连结HC，由(2)知C₁H平面ABC，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，

　　　　　　　 ∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH·tan60°=

　　　　　　　 V_棱柱=

　　　　　　　 ∵CAAB，∴CH，所以棱柱体积最小值3。