532.　 如图，正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.

解析： 要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.

作PM∥AD交CD于M连QM，∵PM∥平面SAD，PQ∥平面SAD.

∴平面PQM∥平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD.

∴QM∥SD.

∵BC＝a,SD＝2a.

∴＝.

∴＝＝,MP＝a,

＝＝＝.

∴MQ＝SD＝a,又∠PMQ＝∠ADS.

∴cos∠PMQ＝cos∠ADS＝＝.

在ΔPMQ中由余弦定理得

PQ²＝(a)²+(a)²-2·a·a·＝a².

∴PQ＝a.

评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.

531.　 如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.

已知：α∥β,l∩α＝A.

求证：l与β相交.

证明：∵α∥β,l∩α＝A

∴Aβ.

假设l与β不相交，则l∥β

在平面β内任取一点D，则Dl.

∴点D、l确定平面PBD，如图

∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，

β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.

又α∥β　 ∴AC与BD无公共点.

∵AC和BD都在平面PBD内，

∴AC∥BD.

由l∥β可知l∥BD.

∴AC∥l且l与AC相交于A.

∴AC与l重合，又AC在平面α内.

∴l在α内与l∩α＝A矛盾.

∴假设不成立，

∴l与β必相交.

530. 已知：平面α∥平面β，且aα，b平面β，a,b为两条异面直线.

求证：异面直线a、b间的距离等于平面α，β之间的距离.

证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B，作直线a′，使a′∥a.

∵α∥β，aβ,

∴a∥β,∴a′β.

∵AB⊥a,∴AB⊥a′

又AB⊥b，且a′∩b＝B.

∴AB⊥β

∵α∥β，∴AB⊥α

∴AB的长是平行平面α，β间的距离.

说明　 求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.

529. 已知a、b是异面直线，aα,a∥β,bβ,b∥α,求证α∥β.

解析： 证明两个平面平行通常利用判定定理来证.

证明　 如图，过a作任一平面和平面β交于a′,

∵a∥β　 ∴a∥a′.

又a′β,a′α

∴a′∥α且a′与b相交，

∵bβ，b∥α.

∴α∥β.

另证设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面，设γ∩β＝a′∵a∥β，∴a′∥a,

∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β

同理可证：c⊥α，∴α∥β

528.　 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.

(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.

(2)求点E到平面PBC的距离.

(3)求二面角A-EB-D的平面角大小.

解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.

∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，

∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.

(2)EO∥PC，PC平面PBC，

∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OF⊥BC于F，

∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.

由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.

(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG

∵OE⊥AC，BD⊥AC

∴AC⊥平面BDE

∴AG⊥EB(三垂线定理)

∴∠AGO是二面角A-EB-D的平面角

∵OE＝PC＝a,OB＝a

∴EB＝a.

∴OG＝＝a　 又AO＝a.

∴tan∠AGO＝＝

∴∠AGO＝arctan.

评析　 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.

说明　 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题

527.　 在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示)

(1)求点C′到平面AB′C的距离；

(2)求二面角B－B′C-A的余弦值.

解析：(1)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱，∴A′C′∥AC，AC平面AB′C，∴A′C′∥平面AB′C，于是C′到平面AB′C的距离等于点A′到平面AB′C的距离，作A′M⊥AB′于M.由AC⊥平面AB′A′得平面AB′C⊥平面AB′A′，∴A′M⊥平面AB′C，A′M的长是A′到平面AB′C的距离.

∵AB＝B′B＝1，⊥B′CB＝30°，∴B′C＝2，BC＝，AB′＝，A′M＝＝.

即C′到平面AB′C的距离为；

(2)作AN⊥BC于N，则AN⊥平面B′BCC′，作NQ⊥B′C于Q，则AQ⊥B′C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1.∴sin∠AQN＝＝,cos∠AQN＝.

说明 　利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB＝BB′＝1，∴AB′＝，又∠B′CB＝30°，

∴BC＝,B′C＝2,AC＝.作AM⊥B′C于M，BN⊥B′C于N，则AM＝1，BN＝，

CN＝，CM＝1，∴MN＝.∵BN⊥B′C,AM⊥B′C，∴BN与AM所成的角等于二面角B-B′C-A的平面角.设为θ.由AB²＝AM²+BN²+MN²-2AM×BN×cosθ得cosθ＝＝.

526.　 如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB，SB＝SC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.

解法一：由于SB＝BC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，

∴SC⊥平面BDE，

∴SC⊥BD，

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，

∴SA⊥BD.

而SA∩SC＝S，

所以BD⊥平面SAC.

∵DE＝平面SAC∩平面BDE，DC＝平面SAC∩平面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC.

∴∠EDC是所求二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC，

∴SA⊥AB，SA⊥AC.

设SA＝a,则AB＝a,BC＝SB＝a.

又AB⊥BC，所以AC＝a.在RtΔSAC中

tg∠ACS＝＝，所以∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°，即所求的二面角等于60°.

解法二：由于SB＝BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰ΔSBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E.

∴SC⊥平面BDE，SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC；又E∈SC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于D∈AC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD⊥DE.

∵DE平面BDE，DC平面BDC.

∴∠EDC是所求二面角的平面角.

以下解法同解法一.

525.　 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A-BD-C、A-BC-D、B-AC-D的大小.

解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.

在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2，

∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD.

∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角

又AO＝OC＝1，AC＝，

∴∠AOC＝90°.

即二面角A-BD-C为直二面角.

(2)∵二面角A-BD-C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD.

∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC.

∵S_ΔOCB＝,S_ΔABC＝,∴cosθ＝.

即二面角A-BC-D的大小是arccos.

(3)取AC的中点E，连BE、DE.

∵AB＝BC，AD＝DC，

∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角.

在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝-

∴二面角B-AC-D的大小是π-arccos.

评析　 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S′＝S·cosθ求得.

524.　 在三棱锥S-ABC中，∠ASB＝∠BSC＝60°，∠ASC＝90°，且SA＝SB＝SC，求证：平面ASC⊥平面ABC.

证明　 取AC的中点O，连SO、BO，由已知，得ΔSAB、ΔSBC都是正三角形.∴BC＝AB＝a,SA＝SC＝a,又SO⊥AC，BO⊥AC，∴∠SOB就是二面角S-AC-B的平面角.又∵SA＝AB＝a,SC＝BC＝a,AC＝AC,∴ΔACS≌ΔACB.

∴SO＝BO＝a.

在ΔSOB中，∵SB＝a,∴∠SOB＝90°.

即平面SAC⊥平面ABC.

另证：过S作SO⊥平面ABC，垂足是O.∵SA＝SB＝SC，∴S在平面内的射影是ΔABC的外心，同前面的证明，可知ΔABC是直角三角形，∴O在斜边AC上.

又∵平面SAC经过SO，∴平面SAC⊥平面ABC

说明　 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.

523. 直线a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求证：α⊥β.

证明　 过b上任意一点作直线a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a′⊥b.

设相交直线a′、b确定一个平面,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.

在平面内，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α