452.　 求棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁C₁与AB₁的距离.

解法一：连结BD₁，取A₁B₁的中点E，连BE交AB₁于M，连D₁E交A₁C₁于N，连MN.

因为ΔA₁NE∽ΔC₁ND₁，所以＝＝，

则＝，同理＝.

∵＝.∴MN∥BD₁.

由三垂线定理知BD₁与A₁C₁、AB₁都垂直，故MN为两对角线的公垂线，

又ΔEMN∽ΔEBD₁

故＝＝.∴MN＝a.

解法二：取A₁M＝，B₁N＝，过N作NP⊥A₁B₁于P，连MP，则ΔMPN为直角三角形，由计算，PM＝a,PN＝a,故MN＝a.又A₁N＝a，A₁M＝a,故A₁N²＝A₁M²+MN²，于是MN⊥A₁C₁；同理，由AN＝a,AM＝a,MN＝a可知MN⊥AB₁.故MN为AB₁与A₁C₁的公垂线段，从而AB₁与A₁C₁的距离为a.

解法三：可转化为求平行平面间的距离.连A₁D，C₁D，A₁C₁，B₁C.易知A₁D∥B₁C，A₁C₁∥AC.故平面A₁DC₁∥平面AB₁C.连BD₁，设与平面A₁DC₁交于M，与平面AB₁C交于N.因BD₁与图中所示6条面对角线都垂直，故BD⊥面A₁DC₁，也垂直于AB₁C.即MN是A₁C₁与AB₁的距离，在RtΔD₁DB中，D₁M＝＝a，而同理可求BN＝a，故

MN＝a-a-a＝a.

说明　 上例还可以利用直线与平面平行、体积转换等方法求解.

451.　 如图1，线段AB平面α，线段CD平面β，且平面α∥平面β，AB⊥CD，AB＝CD＝a,α、β的距离为h，求四面体ABCD的体积.

图1 　　　　　　　　　　　　　　　　图2

解析：依题意可构造一个底面对角线长为a，高为h的正四棱柱(如图2).

显然，正四棱柱的底面边长为a.其体积为

V_柱＝(a)²h＝a²h.

而三棱锥C-AC′B的体积为

V_锥＝V_柱.

故四面体ABCD的体积为

V＝V_柱-4V_锥＝V_柱-V_柱

＝V_柱＝a²h.

说明　 本题运用了“构造辅助体”的解题技巧.

450. 四面体对棱长分别相等，分别是a,b,c.求体积.

解析： 把四面体“嵌入”棱长为x,y,z的长方体(如图).其充分条件是

有实数解

如果关于x,y,z的方程组有实数解，则四面体体积

V＝xyz-4··(xy)·z＝xyz

＝

说明　 对棱相等的四面体各面是全等的锐角三角形，本题采用了体积分割法，转化法求体积.

449. PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值．

解析：如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵　 EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵　 ∠DPE=∠DPF，∴　 △DPE≌△DPF．∴　 PE=PF．∴　 Rt△HPE≌Rt△HPF，∴　 HE=HF，∴　 PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴　 ．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，，∴　

448. 如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：

图9-32

　(1)BD⊥平面ADC；

　(2)若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．

解析：(1)设AD=BD=CD=a，则．∵　 ∠BAC=60°，∴　 ．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵　 BD⊥AD，AD∩DC=D，∴　 BD⊥平面ADC．

　(2)如图答9-21，要证H是D在平面ABC上的射影，只需证DH⊥平面ABD．连结HA、HB、HC．∵　 H是△ABC的垂心，∴　 CH⊥AB．∵　 CD⊥DA，CD⊥BD，∴ 　CD⊥平面ABD，∴　 CD⊥AB．∵　 CH∩CD=C，∴　 AB⊥平面DCH．　 ∵　 DH平面DCH，∴　 AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵　 AB∩BC=B，∴　 DH⊥平面ABC．

447. 如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．

解析：∵　 SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴　 SC⊥平面SAB，∴　 AB⊥SC．∵　 H是S在平面ABC上的射影，∴　 SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵　 AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H为△ABC两条垂线的交点，∴　 H为△ABC垂心．

446. 如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，为a、b的公垂线段，．另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．

解析：如图答9-20，过作，则与b确定平面a ．作于C，在平面a 内作CD⊥b于D，连结BD．∵　 ∴　 ．　 ∵　 ，，∴　 ．∵　 ，∴　 BC⊥a ．∵　 CD⊥b，∴　 BD⊥b(三垂线定理)，即BD为B点到b的距离．∵　 ，∴　 为异面直线a与b所成的角，∴　 ．∵　 ，，∴　 CD=1．在Rt△BCD中，，CD=1，∠BCD=90°，∴　 ，∴　 ．

445. 如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．

图9-29

解析：连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．

444. 已知正方体．则

　(1)与平面ABCD所成的角等于________；

　(2)与平面ABCD所成的角的正切值等于________；

　(3)与平面所成的角等于________ ；

　(4)与平面所成的角等于________；

　(5)与平面所成的角等于________.

解析：(1)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 为与平面ABCD所成的角，

=45°．

　(2)∵　 ⊥平面ABCD，∴　 为与平面ABCD所成的角．设，则，∴　

　(3)∵　 平面，，∴　 ∥平面，∴　 与平面所成的角为0°．

　(4)∵　 ⊥平面，∴　 与平面所成的角为90°．

　(5)连结AC，交AD于H．连结，∵　 ⊥平面ABCD，CH平面ABCD，

∴　 ，又∵　 CH⊥BD，∴　 CH⊥平面．∴　 为在平面内的射影．∴　 为与平面所成的角．设正方体棱长为1，则，，∴　 ，即与平面所成的角为30°．

443. 设正方体的棱长为1，则

　(1)A到的距离等于________；

　(2)A到的距离等于________；

　(3)A到平面的距离等于________；

　(4)AB到平面的距离等于________．

解析：1)连接，AC，则，取的中点E，连结AE，则．

∴　 AE为点A到直线的距离，在Rt△ACE中，，，　

∴　 ，∴　 ．即A到、C的距离等于．

(2)连结．∵　 AB⊥平面，∴　 ．在Rt△中，AB=1，，，设A到的距离为h，则．即

，∴　 ，即点A到的距离为．

　(3)连结交于F，则．∵　 CD⊥平面，且AF平面，∴　 CD⊥AF．∵　 CD∩AD=D，∴　 AF⊥平面．∴　 AF为点A到平面的距离．∵　 ，∴　 ．

　(4)∵　 AB∥CD，∴　 AB∥平面，∴　 AB到平面的距离等于A点

到平面的距离，等于．