Question

已知函数f(x)=lg(x+-2),其中a是大于0的常数.

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;

(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.

Answer 1

解:(1)由x+-2>0,得,

a>1时,x²-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞),

a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1},

0<a<1时,定义域为.

(2)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,

恒成立,

∴g(x)=x+-2在[2,+∞)上是增函数.

∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上是增函数.

∴f(x)=lg(x+-2)在[2,+∞)上的最小值为

f(2)=lg .

(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,

即x+-2>1对x∈[2,+∞)恒成立.

∴a>3x-x²,

而h(x)=3x-x²=-(x-)²+在x∈[2,+∞)上是减函数,

∴h(x)_max=h(2)=2.

∴a>2.